一道几何概型问题的多解与推广.pdf

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1、中学生数学·2014年1O月上·第499期(高中)寸一道凡何概型问题酌多解与推广陕西省麟游县中学(721599)田忠海韩红军黎有一道题如下：A、B、C是平面内不共线的解法二联想到三角形重心的向量等式，三点，点P也在该平面内且有+2魂+如图2，延长PB至B使PB一2PB，延长PC3一石．现将一粒芝麻随机撒在AABC内，至C使PC一3PC，麓学则这粒芝麻落在△PBC内的概率为()．由+2商+3一石，}(A)(B){(ci1(D)得++一石，则点P是△ABC的重心，设S△PB===1，经过研究，从平面向量

2、的基本定理、三角由三角形面积公式得形重心的向量等式、特殊法、坐标法等不同的角度思考此题，有以下几种精彩解法．pB·PcsinBPcs△PBc1—一一、精彩多解SAPB'C'pBPcsinZBPC6’·解法一如图1，由+2菇+3一，所以S△PB，c，一6，所以S△尸Ac，一S△P^B，一6．得一+2(蔬一)一3一石，易求得S△聃一2，S△肌一3，故这粒芝麻即一了1A十1蔬，f’’落在APBC内的概率为P===km-,APBC一丢．延长CP交AB于点D，L】△ABCD解法三由+2商+3葡一，设一，则茄=

3、+商，得(+茏)+2(商+)===．因A、D、B三点共线，如图3，分别取CB、CA的中点D、E，连接所以+一1，解得一2，DE，则+一2商，商+一2硅，于是商一+商，则上式可化为2商+4商一石，于是向量式可化简为一2-Pb，所以CP-PD，AD=2DB．所以点P在线段DE上且DP===2PE．设S△PD一1，则易求得设s△：==1，则易求得SzxpBc一1，SAeAD—S△PAc===2，S△_口【、E一1，S△PDA一2，S△mB一6，这粒芝麻落在△PBC内的概率为故这粒芝麻落在APBC内的概率为

4、S△PBc1n—一～BC图1图2图3图4网址：ZXSS．cbpt．cnki．net●12·～一-najou⋯中学生数学·2014年1O月上·第499期(高中)解法四(坐标法)建立平面直角坐标系，结论2已知P是空间四面体ABCD内如图4所示，则,-~APBC～YP一点，且满足n+6两+c十一，．AABCY贝0P历D：PD：VPⅢ^BD：P仙(一n：b：因为+2商+3一，c：d．路所以向量等式左边的纵坐标为零，‘数即YA—YP+2×(一YP)+3×(一YP)一0，所以Y一6yP，所以这粒芝麻落在APBC

5、万内的概率为P一S~pBc一1百．LJ△ABCuBC二、引申推广从已知向量等式的系数比和三角形面积幽5图6比并结合几何图形，我们发现有如下关系：证明(坐标法)以点B为坐标原点，以APBC、APAC、APAB分别是向量、商、ABCD所在平面为xBy面，并且以BD所在所对三角形，且这三个三角形的面积之比等直线作为Y轴建立空间直角坐标系，如图6所于向量等式中这三个向量的系数之比．上述问题可以推广到一般，于是我们就得出如下结示，则V一．A—BCDA论：因为a+6商+c+一石，结论1A、B、C是平面内不共线的

6、三点，所以向量等式左边的坐标为零，即点P也在该平面内，且有+6赢+ca(A—P)+6(一zP)+c(一P)+d(一P)一0，一0，贝0S△PBc：S△融c：S△蹦B—a：b：c．所以azA一(n+b+C+)P，证明(坐标法)建立平面直角坐标系，如所以Vp-BCD一丽a，，AⅨDn1一D十C十图5所示，则一一YP．△ABCYA同理可得—，因为n+6商+c一石，yABCD“lL，iLc“VPAHDC所以向量等式左边的纵坐标为零，ADa+b+c+d’即a(A—YP)+6(一YP)+c(一P)一0，PABc

7、d所以ayA一(口+6+c)YP，VA历Da+6+c+’所以一a所以VP—BcD：VPD：VP1．仙D：VJl_lAB(·寸△ABca十而D十C，一a：b：f：d．同理可得—，综上所述，解决数学问题的最高境界是在L)△ABC“IIL这个过程中，不只学习一般的解题方法，而且一!S△ABca+6+c’由联想推广到一般的结论，力争找出反映问题所以S△PBc：S△mc：S△PAB=a：b：c．本质属性的规律．我们需要在“题”上反映思维将命题1进行升维类比，将二维升到三维，性，“法”上降低思维度，“道”上优化

8、思维量·只学三角形类比空间四面体，面积类比体积可得如有这样，我们的学习才会轻松I~fli,．下结论．(责审马~Jt1]：．-zxss．cbpt．cnki．net。13。～⋯⋯et-