探索数列中不定方程的解.pdf

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1、探江苏省盐城市明达中学万园探索性问题是高考的热点，常在数列解在，说明理由．答题中出现．数列的通项公式、求和公式都略解(1)略，。一4．是定义域为N的函数，当数列项的序号T／未知时，会出现这样一类探索性问题：在一(2)由a一知，{n)是等比数列，得定条件下，得关于n的不定方程f(7"／，)一0，在这个方程中，除，z未知外，还会出现其他参量，而由"／l∈N，的值能解出来或判断s”一参得一1出其不存在解．探索“是否存在”类问题时，解答过程是得2一①．一般先假设要求(或证)的结论存在，然后利因为2”>0，2+8>0，所以8—2m>0，用有关概念、公理、定理

2、等推理，如果畅通，又m∈N，所以===12，3．解出未知量则存在；女IJ果推理过程中出现矛再代入①，由∈N，得m一3，一3．盾，则说明不存在．所以存在m一3，一3，使得原式成立．若结果是存在，对于不定方程f(n，rn)一0，先分离变量成=：g()形式，然后由变，j结此题解题关键是得到不定方程量”∈N*，根据正整数的性质解得．①时，充分利用“n>O，m>O”这个正数条件，先缩小的范围，再结合整数解来解得．类型一利用变量是正实数的类型二把不定方程化成商式形性质缩小变量范围式，利用整除性质求解例1数列{。}的前项和为S，已知例2数列{n}的前项和S一，数

3、2S+1一S+(∈N，为常数)，＆1—2，a2—1．满足6一，∈N．(1)求{a}的通项公式；(1)若6，6，6。成等比数列，求(2)是否存在正整数，，使的值；n+1～m(2)是否存在m，使得数列f6)q-存在一—成立?若存在，求出m，；若不存a1_l某项6，满足61，6，(∈N，￡≥5)成等差酵fe0琏r最t”t∞nrp(F1Ⅲ州1hn¨—蚴器l“Ⅲ+4—2(+(2)假设存在，t，使b，b，成等差因为走，mEN，所以是～2m∈N，而_昙-数列，则有2b一b+b，N，故③式不成立．即2×而7一1十2t--1，化简所以不存在，是使得原式成立．得：7+

4、②．例4已知数列{“)的首项n一3，因为￡，7∈N*，所以—_：EN，所以一30-n一，—l，2，3，⋯．5是36的约数，(1)证明：数列fI～1l为等比数列；所以Ⅲ一5—1，2，3，4，6，9，12，18，36，以l代入②式得t一43，25，19，16，13，11，10，9，8(2)是否存在互不相等的正整数，S，适合题意．，使m，S，成等差数列，且口一1，。一1，“所以符合条件的m共有9个．一1成等比数列?说明理由．，J、结此题解题关键是得到不定方程证明(1)略．②时，利用正整数的约数是有限个，列举(2)证法1：若存在正整数，s，"，使，出来．s

5、，”成等差数列，且口一1，一1，a一1成等对于不定方程，也会出现无解的情况，比数列，则有2一+，(口一1)。一(口一1)·要说明结果不存在，关键是如何找矛盾．(口～1)，化简得2×3一3+3④．类型三不定方程无解的判定因为3+3≥2一2~／一2×3，当且仅当3一3时成立，此时有==S，与，S，互不相等矛盾．所以不存在．例3设{)是单调递增的数列，前证法2：同上得2×3一3+3”④．项和S满足4S3一S6，口2+2是＆1，＆l3的等因为m，S，n成等差数列，设公差为d，则比中项．有S—m—d，—m：2d．(1)求{)的通项公式；④式两边同除以3得：2

6、×3⋯：1+(2)是否存在，志∈N，使。+n+4=3，即2×3一1+3，即(3一1)一0，d—O，n+成立?若存在，求出，志；若不存在，说此时有m一一S，与m，5，n互不相等矛盾．明理由．所以不存在．懈(1)略．《鎏⋯^，；”~．,rclt、{{”rwl"n卅”“'”