中位线定理的应用技巧.pdf

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1、中位线定理的应用技巧■陈永三角形和梯形中位线定理在同一条件下具有两个结论；一三、有中点无中位线时，取中点连中位线个是位置关系，中位线平行于第三边(或两底)，另一个是数量例3已知：如图3，在四边形关系，中位线等于第三边(或两底和)的一半．ABCD中，AC、BD相交于点0、E、F分一别是AD、BC的中点，EF交AC、BD于点、“遇到中点连中点”。直接构造中位线例1已知：如图1，在四边形ABCD中，AB=DC，点E、F分、求证：OM=ON．别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．猜想：分析：要OM=ON，只需要证EF

2、与GH有怎样的特殊的关系?试证明你的猜想．OMN=LONM，由E、F分别是AD、分析：EF与GH的特殊关系，可以从两个方面来观察与思考：一是是否有特殊的位置关系，图中EF与GH是相交线段，则它们是否互相垂直；二是大小关系，显然EF与GH不会相等，但可以互相平分．解：猜想：EF与GH互相垂直平分．证明：连结EG、GF、删、HE．在△ABD中，因为AE=DE，BG1=DG，所以EG=—A．111同理GF=+co，刖=B，HE=÷∞．二二又因为AB=CD，所以EG=GF：FH=HE．所以四边形EGFH是菱形，所以E，与GH互相垂直平分

3、．说明：“遇到中点连中点”，本题通过连结中点，由此构造出三角形的中位线，从而利用中位线定理解决问题．D例4已知：如图4，在四边形ABCD中，AB=CD。E、F分别是BC、BFCl尸AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点、Ⅳ．求证：图1图2厶BME：厶CNE．二、有中位线无三角形时。添线补全三角形分析：先连结BD构造出三角形，例2已知：如图2，在梯形ABCD中，M、Ⅳ分别是AB、CD再取BD中点日，连结HE、HF，构造出的中点，ⅣE／／DM交BC于点E，连结E．求证：ME=DⅣ．三角形中位线基本图形，易证HE=

4、1HF，从而1=L2，再由平行线的性分析：由M、N分别是A曰、cD的中点，知DⅣ=÷Dc．因此，质，便可证得BME=CNE．图4二1证明：连结BD，取BD中点日，连结HE、Ⅳ，欲证E=DⅣ，只需要证E=÷Dc，联想三角形中位线定理，因为F是AD的中点，考虑延长，JM交CB的延长线于点P，构造出三角形中位线基本1瓯＼HF／／AB．HF：÷AB，图形，由三角形中位线定理，问题便可得证．二证明：延长DM交CB的延长线于点P．所以1=LBME，为AD／／BC，辑以LADM=BPM．1同理：HE／／∞．朋=÷cD，所以2：CNE．因为AM

5、D：BMPAM：BM．妖以△AMDBMP．二1因为AB=CD，所以=HE，1=L2，所以LBME=因DN=CN．NE／／DP．瓯＼CE：PE既＼ME：÷DC二CNE．=DN．说明：本例是先构造三角形，再构造三角形中位线来解决问说明：在证明四边形中有关边、角相等的问题时，常常是把题．当图形中已有两个或两个以上的中点，但这些点的连线不能边、角构造为三角形中的边、角来解决．若题设中有中点条件、线构成三角形的中位线时，一般是先连结某条线段，构造出三角段的两倍或一半关系，则可考虑中位线，当条件不完备时，可以形，再取该线段的中点，构造出这个

6、三角形的中位线．[江苏省涟水中等专业学校(22340o)]作辅助线构造中位线，为使用中位线定理创造条件．