正规变换与埃尔米特二次型.ppt

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1、第十三讲正规变换与埃尔米特二次型定义1设是酉空间V的一个线性变换,如果对任意向量V,都有((),)=(,()),则称是Hermite变换.问题设是酉空间V中的线性变换,是否存在L(V),使得,V,有(,)=(,).定理1设是n维酉空间V中的线性变换,则存在唯一的L(V),使得,V,有(,)=(,)证明存在性:设1,2,,n是V中一组标准正交基,在1,2,,n下的矩阵为A,由上册P.198定理6.4,存在唯一的一个V中的线性变换,在1,2,,n下的矩阵为AH,设1,

2、2,,nX,1,2,,nY,A=(aij)nn,则=(1,2,,n)AX,=(,2,,n)AHY,且1唯一性:设和是n维酉空间V中的两个线性变换,且,V,有(,)=(,),则(,(-))=0,取=(-),则(,)=0,故=0,所以V,有(-)=0,故=.定义2设是n维酉空间V中的线性变换,由定理1存在唯一的V中的线性变换(记为)*,使得,V,有(,)=(,*),这个线性变换称为的共轭变换.设是酉空间V中的Hermite变换,则*=.2推

3、论1设是n维酉空间V中的Hermite变换,1,2,,n是V中一组标准正交基,在1,2,,n下的矩阵为A,则AH=A,A称为Hermite矩阵.推论2设是n维酉空间V中的酉变换,1,2,,n是V中一组标准正交基,则由P.71定理10.9,在1,2,,n下的矩阵A为酉矩阵,即AH=A-1,故*=-1.定义3设是n维酉空间V中的线性变换,若*=*,则称为正规变换.设是n维酉空间V中的正规变换,1,2,,n是V中一组标准正交基,在1,2,,n下的矩阵为A,则AAH=AHA,A称为正规矩阵.酉变换和Hermit

4、e变换都是正规变换,酉矩阵和Hermite矩阵都是正规矩阵.3定理2设是n维酉空间V中的正规变换,若=,则证明因为=,所以(-)=0,要证(*-)=0,推论1设是n维酉空间V中的Hermite变换,则的特征值全是实数.推论2设是n维酉空间V中的酉变换,则的特征值的绝对值均为1.4定理3若n阶方阵A是正规矩阵,则存在酉矩阵U,使得U1AU=UHAU是对角阵.证明对n归纳.当n=1时,显然.设当A是n-1阶正规矩阵时命题成立,现设1是A的一个特征值,X1是A的属于1的一个单位特征向量,由上册P.163定理5.12可知X1可扩充为Cn的

5、一组基,这组基通过施密特正交化过程可化为Cn的一组标准正交基X1,X2,…,Xn,因为X1,X2,…,Xn为Cn的一组基,所以存在n维向量Y2,…,Yn,使得AX2=(X1,X2,…,Xn)Y2,…,AXn=(X1,X2,…,Xn)Yn,记(X1,X2,…,Xn)为U1,(1e1,Y2,,Yn)为B,则AU1=而AX1=1X1=(X1,X2,…,Xn)1e1,(AX1,AX2,…,AXn)=(X1,X2,,Xn)(1e1,Y2,…,Yn)=U1(1e1,Y2,…,Yn)=U1B.5U1是酉矩阵,且U1-1AU1=B.因为U1-1=U1H,所以BHB=U1-1AHU

6、1U1-1AU1=U1-1AHAU-1=U1-1AAHU1=U1-1AU1U1-1AHU1=BBH,B也是正规矩阵,记则且C为n-1阶正规矩阵,由归纳假设存在酉矩阵U2,使得U21CU2是对角阵D,6令则即U是酉矩阵,且U1AU=UHAU是对角阵.7定理4设是n维酉空间V中的正规变换,则属于不同特征值的特征向量正交.证明设上述分析指明了正规矩阵酉对角化(即求酉矩阵U,使得U-1AU为对角阵)的方法.8正规矩阵酉对角化的方法(1)求A的特征值,得到其中(2)对每个i,求线性方程组(iIAX的基础解系,i=1,2,s,得到(3)对每组向量进行施密特正交化,得

7、到一个得一个标准正交特征向量组:(4)令则由定理3&4,U是酉矩阵,而且9例1设求酉矩阵U,使UAU为对角阵.解(1)求A的特征值所以A的特征值为1=0,2=(2)求属于不同特征值的特征向量.由(1I–A)X=0解得故由(2I–A)X=0解得故(3)施密特正交化：10令则U是酉矩阵,且定义4n个复变量x1,x2,…,xn的(二次齐次)函数称为n元Hermite(二次)型.令A=(aij)nn,X=(x1,,xn)T,则f=XHAX,AH=A,A称为Hermite二次型的矩阵.