浅析用函数思想解题.doc

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1、浅析用函数思想解题张金良马喜军浙江海盐元济高级屮学314300摘要：函数思想是贯串高屮数学的灵魂，利用函数思想可解决许多问题，木文从八个方面阐述了函数思想运用.关键词：函数思想解题作者简介：张金良，男（62.4—）特级教师硕士研究生；马喜军，男（78.4—）二级教师.函数是中学数学中的一个重要内容，它在高等数学、其它学科及现实生活中也有着广泛的应用。它反映了事物内部的数量特征和制约关系，纵观整个屮学教学内容，函数的思想就如一根红线把屮学教学的备个分支紧紧地连在一起，构成有机的知识网络。几乎贯串于整个屮学数学，在立体儿何、解析儿何及其它的代数内容屮到处可以看到它的影了•

2、一些表血上看来与函数无关的问题，我们若用函数的思想去思考，往往可以收到意想不到的效果.下面例举几例。一、利用函数的定义域，值域思想例］.已知函数f（x）=是奇函数，求实数Q的収值范围。-a

3、例2.若cos2x-3>2kcosx-4k,x丘［0,皿/4］时恒成立,求实数k的范围.1cc八fI2—cos^x5兀、A〜、

4、2—cos^x解：由cos2x-3>2kcosx-4k得、k>g［0，一］,令/(x)=，2-cosx22-cosx而/(x)=-C()S-A=［(2-cosx)+—-—］+4<4-2^2，当cosx=2—血时取等2一cosx2-cosx号2血二、利用函数的单调性思想例3.求方程兀&-6x4-x3+I2x2-8=0的实数根.解：把原方稈化为x6~6x4+12x2-8=x3,即(兀2-2)3=疋，作/(兀)=无3,则方稈^/(x2-2)=/(x),v/(x)在R上为递增函数/.x1-2=x，即x2-x-2=0,得Xj=-l,x2=2,原方程的实根为x=-l或X二2例4・

5、已知不等式丄+—'―+…+丄〉丄10艮@一1)+?对于一切大于1的自n+1n+22n123然数n都成立，求实数a的取值范围.解：构造函数/(〃)=丄+—^+・・・+丄，易证/(〃)为增函数.n+In+22n・・・ri是大于1的正桀数，7/(«)>/(2)=—.要使丄+—"―+…+丄n丄iog“⑺-1)+?对一切大于1的正整数恒成立，n+1n+22/z123必乡贝丄log(«-l)+-<—，艮卩logf；(a-1)<-I,

6、(x+1)在定义域上是偶函数，函数g(x)=-bf(f(x+1))+(3b-l)/(x+1)+2在区间(-oo,-2］是减函数，且在(-2,0)增函数。(1)求：函数/(x)的解析式(2)证明Z?<0,并求b.(3)如果在(-00-1)上存在函数F(x)满足F(x)«/(x+l)=g(x),求F(劝取得最小值.解：(1)由函数)，=/(兀+1)在定义域上是偶函数，可知原函数的对称轴为x=i即a=—2,所以函数/(x)=x2-2x+l(2)v/(x)=x2-2x+1^(x)=-bx4+(5/?-l)x2+2-Z?/.gx)=-4bx'+2(5/?一l)x在区间(-00

7、,-2]是减函数，且在(-2,0)是增函数，所以g⑴在x=-2又极小值,即g'(-2)=-4^(-8)+2(5&-1)(-2)=0,得b=-L,即b<0(3)/.g(x)=-(x4-8x2+7),•・・f(x)=x2-2x+1=(x-l)2,F(x)==

8、U2+-8)令十=t,tw(l,+oo)./(x+1)32/.-(f+--8)在(1,V7)上单调递减，在(爸,+00)单调递增，即在x=V7有最小值•••F(x)有最小值=丄(2丁7-8)三、利用函数的奇偶性思想例6.已知(x一y)5+(2x-1)5+3兀-y-1=0,求3x+y的值.解：由(x-y)5+(2x-

9、l)5+3x-y-l=0,得(x-y)°+(x-y)=—[(2x-l)3+(2x-l)l作f(x)=x5+x,则上式为f(x-y)=-f(2x-l)显然f(x)为奇函数。故f(x)在R上一一对应，所以有x—y=-2x一1,故3x-y=1例7设方程无$一2asin(cosx)+6/2=0有唯一解,则实数a的值()•(A)a=0(B)a=1(C)a二0或a二2sinl(D)a二0或1解：设/(x)=x2-2asin(cosx)+a2,贝!]/*(%)为偶函数。若兀为/(x)的根，则一兀也是根。由唯一性知x=即x=0/.-2asin1+/=0,「.a=0或