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1、浅析高考屮的函数零点问题山东省章斤.市第四屮学滕卉芳(邮编：250200)新课标下的高考越來越注重对学生的综合素质的考察,函数的零点问题便是-个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。根据函数寥点的定义：对于函数y=/(x)(xeD),把使/(x)=0成立的实数兀叫做函数y=/(x)(xe£>)的零点°即：方程f(x)=0有实数根o函数y=/(兀)的图象与x轴有交点的横坐标u>函数y=/(x
2、)有零点。围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布;②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析:类型一：函数零点的分布例1：(09天津)设函数/(x)=-x-Inx(x>0),则y=/(x)A在区间(―,1),(1,€)内均有零点。B在
3、x.间(―,1),(1,e)内均无冬点。eeC在区间(丄,1)内有零点，在区间(1,幺)内无零点。eD在区间(丄,1)内无零点，在区间(l,w)内有零点。e解析：解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=/(x)在区间山
4、,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(u)./(/?)<0,那么函数y=/(x)在区间(a,b)内有零点。既存在cw(a,b),使得/(c)=0,这个。也就是方程的根。山题得/(I)=/(^)=1<0,/(i)=X+1>o/(x)(1,£)乂33e3e，所以在X11y-3/'(兀)=匚一一=—,令r(x)>0得兀>3；令r(x)<0得0VXV3；,故知函数/(兀)在区间3x3x(1)(0,3)±为减函数，在区间(3，+oo)为增函数，所以y=/(x)在区间一」内无零点，故选择D。A（1,2）B（2,5）C（5,10）D（10,+oo）l±!零点的存在性定理：我们只需求得/（1）=-9<
5、0,/（2）=lg2--<0,/（5）=lg5--<0,25/（10）=lgl0-—=1-—>0,故选C.'）1010类型二：函数零点的个数例2：（2009山东）若函数f（x）=ar-x-a（a>0且a^l）有两个零点，则实数a的収值范围是.解析：根据函数的零点与方程的根、函数图像三者Z间的关系：方程/（x）=0的实数根O函数〉，=/（兀）的图象与兀轴交点的横坐标o函数），=/（兀）的零点。我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题。即：,山图象可知当0V。<1时，当。>1时，因为函数y=g”（g〉1）的图象过点（0,1）,而直线y=x+6/所过的点（0,a）-定在点（0,1）
6、的上方，所以一定有两个交点.所以实数“的取值范围是｛aa>｝.我们可将方法简单总结如下：1、构造函数（依据：构造的两个函数我们能准确的做出它的图像）设函数y=aa>0,且aHl｝和函数y=x+a,则函数f（x）=av-x-a（a>0且&H1）有两个零点，就是函数）,=ax（a>0,且aH1｝与函数y=兀+d有两个交点2、通过图像描绘题意：,3、依图得条件——将形转化成数当0va<1时（如图1）,两函数只有一个交点，不符合；当d〉1时（如图2）,因为函数），=ax（a>1）的图象过点（0,1）,W直线y=x+a所过的点（0,a）一定在点（0,1）的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取
7、值范围是｛aa>l｝.变式：（08湖北卷13）方程rx+x2=3的实数解的个数为.解析：曲上述方法我们可将方程转化成（-）A=-x2+3的解的个数，令f(x)=I,
8、?(%)=-x?-3x-1-m贝0hr(x)=3x2-3,由f(x)=0解得Xj=-l,x2=1o则x,/?r(x),/?(x)的变化如下表：(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+co)hx)+0-0+心)单增极大值单减极小值单增当X-00时，/(%)-»-00；当x—>4-00时，/(%)-»+00山上表可作出函数的草图：/山图像知，若直线y=m与y=/(x)的图象有三个不同的交点X则:
9、,(1)=3
