《参数的点估计》PPT课件.ppt

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1、第七章:参数估计统计推断的基本问题可以分为两类，一类是估计问题，另一类是假设检验问题，本章讨论总体参数的点估计和区间估计。7.1参数的点估计参数估计就是从样本出发，去构造一个统计量，作为总体中未知参数的一个估计量。设总体X的分布函数的形式已知，但它的一个或多个参数未知，借助于总体X的一个样本来估计总体中未知参数值的问题称为参数的点估计问题。引例解用样本均值来估计总体的均值E(X).点估计问题的一般提法矩估计是基于“替换”思想建立起来的一种参数估计方法。最早由英国统计学家K.皮尔逊提出。7.1.1矩估计其

2、思想是:用同阶、同类的样本矩来估计总体矩。在引例中，我们以样本均值作为总体均值的估计量，也就是以样本的一阶矩作为总体一阶矩的估计量，这种做法实际上就是矩估计法。矩估计就是用相应的样本矩去估计总体矩。总体的k阶原点矩为样本的k阶原点矩为总体的k阶中心矩为样本的k阶中心矩为设总体X的分布函数中含k个未知参数：步骤一：记总体X的m阶原点矩E(Xm)为m,m=1,2,…,k.am(1,2,…,k),m=1,2,…,k.一般地,m(m=1,2,…,K)是总体分布中参数或参数向量(1,2,…,k)的

3、函数。故,m(m=1,2,…,k)应记成:步骤二：算出样本的m阶原点矩步骤三：令（1）式是包含k个未知参数1,2,…,k的联立方程组。步骤四：解方程组(1),并记其解为这种参数估计法称为参数的矩估计法，简称矩法。这种估计量称为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值.解：先求总体的一阶矩，即期望例1：设总体X的概率密度为由矩法，令样本矩总体矩解得为α的矩估计。注意：要在参数上边加上“^”，表示参数的估计。它是统计量。解:先求总体的均值和2阶原点矩。例2：设X1,X2,…Xn是取自总体X的简单样本,

4、X有概率密度函数令y=(x-μ)/θ令y=(x-μ)/θ用样本矩估计总体矩得列出方程组:例3：设总体X的均值为，方差为2，求和2的矩估计。解：由故，均值,方差2的矩估计为求解，得如：正态总体N(,2)中和2的矩估计为又如：若总体X∼U[a,b]，求a,b的矩估计。解：解上述方程组，得到a,b的矩估计:(课本P108例7.3)矩估计的优点是：简单易行,不需要事先知道总体是什么分布。缺点是：当总体的分布类型已知时，未充分利用分布所提供的信息.此外，一般情形下，矩估计不具有唯一性.比如X~

5、p()，的矩估计不唯一。7.1.2极大似然估计1.极大似然估计的基本思想引例：袋中有4只球，只有白颜色和黑颜色两种．现用放回方式取球3次，每次任取1只球，记取得的3只球中白颜色球数为X．显然X~B(3，/4），其中为袋中的白球数，显然的取值范围为={1，2，3}，如果试验结果是取到了2只白球，应如何估计参数？（课本P109例7.6)解：对于的不同值，事件{X=2}有不同的概率：针对中的不同值，分别计算L()的值，列成下表：１２３L()9/6424/6427/64由于事件{X=2

6、}已经发生，自然认为事件{X=2}发生的概率最大．从表中看到，使事件{X=2}出现概率最大的值为3，可把3作为参数的估计值．综上所述，设总体分布中未知参数的值可能是有限个或无穷多个，它们的集合称为参数空间，记为．极大似然估计的基本思想就是：若事件A发生的概率依赖于未知参数，如果观察到事件A已经发生,那么就在参数空间内选取参数的估计值，使A发生的概率最大．2.极大似然估计法令L()随着的不同而变化，它是的函数，称L()为似然函数。基于上述极大似然估计的基本思想，可以选取的估计值使概

7、率L()达到最大值，即称为参数的极大似然估计值。称为参数的极大似然估计量。为似然函数，若有使称为的极大似然估计值，。。。3.求极大似然估计量的步骤（X为离散型）（X为连续型）极大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令对数似然方程组对数似然方程例1有一批产品，次品率为p，从中随机抽取100件产品，其中有10件次品，试估计p的值．解若正品用“X=0”表示，次品用“X=1”表示，则总体X的概率分布为：则似然函数为（p110例7.7）解得，易验证，是lnL(p)的最大点，因此，p的极

8、大似然估计值为取对数得，对p求导，并令其等于零，得时有时较繁琐.一解时，我们就简单地把这组解作为参数的极似然方程组或（似然对数方程组）的解,只是似然函数的驻点，还不一定是最大点，即还不一定是极大似然估计值，需要验证，验证当似然方程组或（似然对数方程组）有唯大似然估计值，而不再验证。说明解例2这一估计量与矩估计量是相同的.令解似然函数为例3令即与相应的矩估计量相同思考：如已知，方差的极大似然估计为？例4设X∼U[a,b]，求a,b的极大似然