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1、2012高考数学压轴题A原创作者:末日2011.07.02对于实数λ,若无穷数列{Ln}满足以下条件:对任意的nN+,①:;②:;则称数列{Ln}为数列,其中.(1)判断数列,是否为数列,并明理由;(2)请写出一个数列,并加以证明;(3)对任意实数,且,证明:下列不等式对任意正整数n恒成立.(4)有兴趣的朋友可试做,看看你能证出几个.解答:(1)不是数列,由题意:数列的首项.又∵,不符合题意.∴不是是数列.∵,显然,而∴,则满足条件①由条件②知,只需证明:当n=1时,显然成立.当时,∴满足条件②.因此是数列.(2)答案不唯一,如;;;……
2、(备注:只存在唯一的等比数列是数列,即,原因请读者自行探究.)(以下仅提供前两者证明过程,其它数列请自行证明.)1.证明是数列.∵.由题意∵,∴,,∴,满足条件①下面证明｛｝满足条件②:即证明:,显然成立.∴满足条件②综上可得,是数列.2.证明是数列.∵.由题意∵,∴,,∴,满足条件①下面证明满足条件②:即证明:,显然成立.∴满足条件②综上可得,是数列3.证明:I:∵由题意:∵∴,∴∴即II:由题意知,(i):当时显然:,∴(ii):当时,方法之一:辅助数列法取任意一个数列,不妨用表示,则对任意正整数k有:;∴∴∴综上,原不等式得证.方法
3、之二:辅助不等式,①当当∴{★也可构建辅助不等式:,方法类同上}备注:事实上此问不等式还能进一步扩展为对任意现证明其中的第①和第②条(其余请读者自几解决)①∴∴②首先∵∴∴
