学习教学教案第二章矩阵教案.doc

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1、第二章矩阵一、内容提要定义2.1由数域P中的mn个数排成的m行n列的矩形数表：（2.1）称为数域P上的矩阵。其中aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）称为矩阵的第i行第j列的元素,i称为元素的行标,j称为元素的列标.m=n时矩阵（2.1）称为n阶矩阵或方阵。方阵A=方阵中主对角线以外的元素全为零的矩阵称为对角阵，对角阵亦可记为.今后在表示对角阵时m=n=1时，1阶矩阵为一个数.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作Om×n或O，有时列矩阵中的零矩阵也常用0来记.矩阵的运算相关定义及性质定义2.2设两个同型矩阵A=，B=，若它们的对应元素相等，即=（i=1，2，…，m；j=1，

2、2，…，n）则称矩阵A与B相等，记作A=B．定义2.3设两个同型矩阵A=，B=．称矩阵为矩阵A与B的和，记作A＋B．即A＋B=矩阵的加法运算律：（1）A＋B=B＋A（交换律）（2）（A＋B）＋C=A＋（B＋C）（结合律）（3）A＋O=A（4）A＋（－A）=O定义2.4设A=，k为数。称矩阵为数k与矩阵A的数量乘积，简称数乘，记作kA（或Ak）．即kA=（2.6）矩阵的数乘运算律：(1)1A=A(2)k（lA）=（kl）A=l（kA）(3)（k＋l）A=kA＋lA(4)k（A＋B）=kA＋kB其中k、l为数。定义2.5设A=，B=，矩阵C=称为矩阵A与B的乘积，即C==AB其中=（

3、i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）矩阵的乘法运算律：(1)（AB）C=A（BC）（结合律）(2)A（B＋C）=AB＋AC（左分配律）(3)（B＋C）A=BA＋CA（右分配律）(4)k（AB）=（kA）B=A（kB）（数乘结合律）定义2.6若AB=BA则称矩阵A与B可交换.定义2.7设A为n阶方阵，k为正整数.称k个A的连乘积为A的k次幂，记作．即=AA…A（2.9）并规定定义2.8将A==的行依次排为列、列排为行所得的n×m矩阵称为A的转置矩阵，记作．矩阵的转置运算满足运算律：（1）=A（2）=（3）=（k为常数）（4）=定义2.9设A为n阶矩阵，若=A，则称A为对称矩阵；

4、若=－A，则称A为反对称矩阵．逆矩阵定义2.10设A为n阶方阵，A的元素保持其原有位置不变所构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记作或detA．性质设A、B为n阶方阵，k为数：(1)=；(2)=；(3)=．定义2.11设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵。定理2.1若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的.定义2.12设n阶方阵A=（aij）Aij为中元素aij（i、j=1，2，…，n）的代数余子式.称方阵为A的伴随矩阵，记作．定理2.2设A为n阶方阵，为其伴随矩阵，则A=A=E．定理2.3n阶方阵A可逆的充要条件是≠0，且当A可逆时有

5、=推论若方阵A，B满足AB=E则A，B均可逆，且=B，=A性质设A、B为n阶可逆矩阵，则（1）可逆且=A；（2）可逆且=，（k≠0）；（3）AB可逆且=；（4）可逆且=．分块矩阵运算规律1.设A、B为同型矩阵且分法相同：A=（Apq）s×t，B=（Bpq）s×t，（1）若Apq=Bpq，（p=1，2，…，s；q=1，2，…，t）则称分块矩阵A与B相等。（2）A＋B=Apq＋Bpq=Apq＋Bpq（3）kA=kApq=kApq2.设A=，B=对A的列的分法与对B的行的分法相同：A=（Apq）s×r，B=（Bpq）r×t则AB=（Apq）s×r（Bpq）r×t=Cpq其中Cpq=．3

6、.设矩阵A的分块矩阵为A=则=矩阵的初等变换定义2.13下述变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）互换第i、j两行（列）；（2）用非零数k乘第i行（列）；（3）将第j行（列）的k倍加到第i行（列）．定义2.14如果矩阵A经有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价，记作AB．定义2.15具有如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵：（1）零行（若有的话）位于全部非零行的下方；（2）由上至下的各非零行中，首非零元左边零的个数随行数的增加而增加.定理2.4任一非零矩阵都可经初等行变换化为行阶梯形矩阵．定理2.5任一非零矩阵都可经初等变换化为标准形矩阵．定理2.6矩阵的初等变换不改

7、变方阵的可逆性.矩阵的秩定义2.16设A为矩阵，任取A的k行、k列（1≤k≤min｛m，n｝），由这k行、k列的交叉点处的元素按原来的次序组成的k阶行列式称为A的k阶子式.定义2.17若矩阵A有一个r阶子式D不等于0，而所有更高阶子式（若有的话）全为0，则称D为A的最高阶非零子式；矩阵A的最高阶非零子式的阶数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．性质（1）零矩阵没有非零子式，因此规定零矩阵的秩为零；（2）;（3）因A的一个k阶子式的转置也是AT的一个k阶子式，所以;(4)行阶梯形矩阵的