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《高中数学 312导数的概念课件 新人教A版选修1-1.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.1导数的概念引入:在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当
2、△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.从物理的角度看,时间间隔
3、△t
4、无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近
5、于确定值–13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即说明:(1)函数在点处可导,是指时,有极限.如果不存在极限,就说函数在处不可导,或说无导数.点是自变量x在处的改变量,,而是函数值的改变量,可以是零.(2)由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3
6、.求值一差、二化、三极限例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.例2物体作自由落体运动,运动方程
7、为:其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求:(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度;(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度;(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.解:(1)将Δt=0.1代入上式,得:(2)将Δt=0.01代入上式,得:即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).练习:1.求函数y=3x2在x=1处的导数.分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)
8、=6Δx+(Δx)2再求再求练习:2.质量为10kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动,(1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度;(2)求运动开始后4s时物体的动能。课后思考题:12.函数f(x)=
9、x
10、在点x0=0处是否有导数?若有,求出来;若没有,请说明理由.小结:1求物体运动的瞬时速度:(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度(3)求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤:(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率(3)求极限