曲面的第二基本形式.ppt

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1、第三节曲面的第二基本形式3.1曲面的第二基本形式一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有必要知道在曲面上任意一点P邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用P点邻近的点Q到P点的切平面的垂直距离来表示，这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全决定的曲面的形状。二、曲面的第二基本形式给定类的曲面S：曲线（c）：u=u(s),v=v(s)或是曲面上过P的一曲线，为P邻近一点，它们的向径分别为设为曲面在P点的单位法向

2、量，由作切平面的垂足为Q，为从切平面到曲面S的有向距离，则。所以有当时，的主要部分是由于所以Ⅱ它称为曲面的第二基本形式,它的L、M、N系数称为曲面的第二类基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻划了曲面在空间中的弯曲性。注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负。三、第二类基本量的计算1、2、对进行微分得Ⅱ3、对于显函数z=z(x,y)表示的曲面有Ⅱ例题1、23、2曲面上曲线的曲率曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快慢来决定，但曲面在不同方

3、向的弯曲程度是不一样的，即曲面在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线）来求得，这条曲线就是法截线。一、法截面与法截线1、给定类的曲面S：（c）：u=u(s),v=v(s)或是曲面上过P的一曲线，曲线在P的切向量与主法向量为则设P点的法向量与主法向量的夹角为，则所以Ⅱ但2、定义：给出曲面上一点P及P点的一切方向du:dv，于是方向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的法截面，这个法截面与曲面S的交线称为曲面S在P点沿方向(d

4、)法截线。Ⅱ二、法曲率设方向（d）所确定的法截线为(c0)，它在P点的曲率为k0，对于(c0)，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量为s在P点的法向量或它的反向量，即，所以由公式（1）得ⅡⅡ其中和的方向相同时取正号，此时（c0）往的正侧弯曲，…………取负号，……反向弯曲。定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为Ⅱ注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c）的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（c0）在P点相切就行了，因为它们此时的切方向相同了。所以设曲面上一曲线（c）和法截线（c0）切于

5、P点，则它们有相同的切方向（d）=du:dv，则（1）和（3）得利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论。三、梅尼埃定理设R=1/k，即R为曲线（c)的曲率半径，Rn=1/kn，称R为曲线（c0)的曲率半径，也称为法曲率半径。则公式，可写为梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。四、一个例，球面。由于R在（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上，Rn在（C0）……，（C0）……故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切平面上的投影，由于它们的

6、端点为曲率中心C和法曲率中心C0，因此几何意义可叙述成：3.3杜邦指标线一、杜邦指标线现在考虑通过曲面上一点的所有法截线的法曲率之间的关系.为方便，取P点为坐标原点，坐标曲线在P点的切方向为它们构成了曲面在P点的切平面上的一个坐标系。在这个切平面上给定一个方向（d），并取PN长为，则对于切平面上所有方向，N点的轨迹称为曲面在P点的杜邦指标线。二、杜邦指标线的方程取（d）上的单位向量为，设N点在前面的坐标系下的坐标为(x,y),则两边平方得三、曲面上的点的分类按曲面上的点的杜邦指标线进行分类1）若，则点P称为曲面的椭圆点，这时杜邦指标线是一椭圆。2）若，则点P称为曲面

7、的双曲点，杜邦指标线为一对共轭的双曲线。3）若，则称P为曲面的抛物点，杜邦指标线为一对平行直线。4）若，则称P为曲面的平点，这时杜邦指标线不存在。例：平面上的点为平点。因为平面方程为它的二阶微商全为零，因此第二类基本量全为零。3、4曲面上的渐近方向与共轭方向一、曲面的渐近方向与渐近线1、定义：如果P是曲面的双曲点，则它们的杜邦指标线有一对渐近线，我们把沿渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向。设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这两个方向满足方程也就是使得法曲率为零的方向。2、渐近曲线曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方向，