线性代数与空间解析几何(哈工大).ppt

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1、第三章几何向量解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学.中学学过平面解析几何，那是用代数方法研究平面向何图形.空间解析几何是用代数方法研究空间几何图形，也是多元函数微积分的基础.本章主要研究如下几个问题：1.几何向量的线性运算；2.几何向量的数量积（内积）、向量积（外积）、混合积；3.空间中的直线与平面.3.1几何向量及其线性运算3.1.1几何向量的概念现实生活中有这样的两种量：数量（标量），即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温度等.向量（矢量）即不仅有大小而且还有方向的量，如：力、速度、加速度、电场强度等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不行的.向量是研究物理学

2、及几何学不可缺少的工具.1．向量：有大小，又有方向的量称为向量.用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，用简头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向量），记或2．模：（长度）向量的大小，记作且3．单位向量：模为1的向量、不同的方向上有不同的单位向量，4．0向量：模为0的向量注：0向量没有确定的方向或说方向任意.5．负向量：与大小相等，方向相反.6．自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（1）方向相同；（2）大小相等（模相等），我们研究的都是自由向量.所以任意两向量都共面.3.1.2几何向量的线性运算一、加法运算：（向量的加法，数乘向量）1．平行四边形法规：设，则以

3、为邻边的平行四边形的对角线称为与的和，记.2．三角形法则：（便于多个向量求和）.将的终点与的起点重合在一起.说明：若在同一直线上，则其和如：(1).当与方向同时，和向量的方向与原来两个向量的方向相同.其模=两模之和.(2).当与方向相反时，和向量的方向与较长的向量的方向相同，其模=两模之差.3多边形法则：几个向量之和，只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量，即为和向量，.4．运算法则：（1），交换律；（2）,结合律；（3）；（4）.5．向量的减法：为平行四边形的另一对角线向量.注意：不要把向量与数混淆，实数是有序的，可比大小

4、，而向量式子无意义，当然向量的长度可比大小，根据三角形两边之和不小于第三边,的长度满足三角不等式.二、数乘向量：为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量的乘法.1．定义：，则是一个向量，与共线，模与同向，时与反向，.若.2．运算法则：（1）；（2），（结合律）；（3）；（4），（分配律）.3．单位向量：表示与同向的单位向量.4．平行：，（共线）即可用同一个起点的有向线段来表示.注：与都没有意义.例1：在内，设，试用表示.解：的对角线互相平分，又.ABCDY3.2向量的数量积，向量积和混合积3.2.1向量在轴上的投影刚才讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的

5、是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算定量的描述.2．点的投影：若为空间中一点，为一轴，通过点作垂直于轴的平面，则与轴的交点为在轴上的投影（一个点）.1．向量的夹角：设有，将的起点放在一起，它们所夹的角称为向量的夹角，记.注：零向量与另一向量的夹角可以在0到间任意取值.同样：向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的正向间不超过的夹角.3．向量的投影：设有向量,,则轴上的有向线段的值为（数量，向为正数，向为负数），称为向量在轴上的投影，记作.定理3.1向量在轴上的投影=向量的模乘以向量与轴夹角的余弦，

6、即：.证：过点引轴且同向，，且有.当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负；直角时，投影为0.定理3.2两个向量的和在某轴上的投影=投影之和.即：.此定理可推广：.3.2.2几何向量的数量积（点积、内积、标积）物理背景：一物体在常力的作用下，沿直线运动产生的位移为时，则力所做的功是:抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算.1．定义（数量积），.一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影.2．性质：（1）规定；（2）；交换律：（3）；分配律：（4）；结合律：（5）3．注：（1）称为数量积是因结果是个数.（2）并不见得中必有向量，也可.（3）无意义.（

7、4）数量积不满足消去律即事实上，所以.例2：用向量的数量积，证明恒等式即平行四边形对角线的平方和=四边的平方和.证：例3：用向量证明余弦定理证：在中，例4：已知与的夹角为，且向量与垂直，求的值.解：.即3.2.3几何向量的向量积（叉积、外积）下面介绍向量与向量的另一种乘法。物理背景：由力学知，力关于定点的力矩是一个向量，它的模=力的大小力臂，即：但是仅知力矩的大小，不了解它的方向，就不知道物体如何转动，规定力矩的方向且与构成右手系，即右手四指从方向握向的方向时，大姆指的方向就是力矩的方向，（为转动轴），抽去物理意义，引出向量积的定义。1．定