初中数学竞赛专题选讲 函数的图象(含答案)

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1、www.czsx.com.cn初中数学竞赛专题选讲(初三.17)函数的图象一、内容提要1.函数的图象定义:在直角坐标系中,以自变量x为横坐标和以它的函数y的对应值为纵坐标的点的集合,叫做函数y=f(x)的图象.例如一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是一条直线l.①l上的任一点p0(x0,y0)的坐标,适合等式y=kx+b,即y0=kx0+b;②若y1=kx1+b,则点p1(x1,y1)在直线l上.2.方程的图象:我们把y=kx+b看作是关于x, y的二元一次方程kx-y+b=0, 那么直线l就是以这个方程的解为坐标的点

2、的集合,我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0(a,b,c是常数,a≠0,b≠0)叫做直线方程. 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合,那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如:二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)(即二次函数)的图象是抛物线;二元分式方程y=(k≠0)(即反比例函数)的图象是双曲线.3.函数的图象能直观地反映自变量x与函数y的对应规律. 例如:①由图象的最高,最低点可看函数的最大,最小值;②由图象的上升,下降反映函数y是随x的增大而增大(或减小);③函

3、数y=f(x)的图象在横轴的上方,下方或轴上,分别表示y>0,y<0,y=0.图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0的解集和方程f(x)=0的解.④两个函数图象的交点坐标,就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4.画函数图象一般是:①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义,并使代数式所表示的实际问题有意义,还要注意是否连续,是否有界.②一般用描点法,但对一次函数(二元一次方程)的图象,因它是直线(包括射线、线段),所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他

4、特殊符号)的解析式-12-www.czsx.com.cn,应按定义对自变量分区讨论,写成几个解析式.二、例题例1. 右图是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0),试决定a, b, c及b2-4ac的符号.解:∵抛物线开口向下,   ∴a<0.∵对称轴在原点右边,∴x=->0且a<0,∴b>0.∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上,  ∴截距c>0.∵抛物线与横轴有两个交点,   ∴b2-4ac>0.例2.已知:抛物线f:y=-(x-2)2+5. 试写出把f向左平行移动2个单位后,所得的曲线f1的方程;以及f关于x轴对称的曲线f2的方程. 

5、画出f1和f2的略图,并求:(1)x的值什么范围,曲线f1和f2都是下降的;(2)x的值在什么范围,曲线f1和f2围成一个封闭图形;(3)求在f1和f2围成封闭图形上,平行于y轴的线段的长度的最大值.解:f1 :y=-x2+5 (由顶点横坐标变化确定的),f2:y=(x-2)2-5(由开口方向相反确定的).  (1)当x≥0时,f1下降,当x≤2时,f2下降,∴当0≤x≤2时,曲线f1和f2都是下降的. (2)求两曲线的交点横坐标,即解方程组x2-2x-3=0.∴x=-1;或x=3.  ∴当-1≤x≤3时,曲线f1和f2围成一个封闭图

6、形.(3)封闭图形上,平行于y轴的线段的长度,就是对应于同一个横坐标,两曲线上的点的纵坐标的差.在区间–1≤x≤3内,-12-www.czsx.com.cn设f1上的点P1(x,y1), f2上的点P2(x,y2),求y1-y2的最大值,可用配方法:y1-y2 = (-x2+5)-[(x-2)2-5]=-2x2+4x+6 =-2(x-1)2+8.    ∵-2<0,    ∴y1-y2有最大值.当x=1时,y1-y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3. 画函数y=的图象.解:自变量x的取值范围是全体实数,下面分区讨论:当x<-

7、1时,   y=-(x+1)-(x-2)=-2x+1;当-1≤x<2时,  y=x+1-(x-2)=3;当x≥2时,   y=x+1+x-2=2x-1.      即y==x…-2-123…y=-2x+1(x<-1)…53y=3(-1≤x<2)33y=2x-1(x≥2)35…  ∴ 画函数y=的图象如下图:-12-www.czsx.com.cn例4.画方程[x]2+[y]2=1的图象,[m]表示不超过m的最大整数.解:∵[x]2≥0, 且  [y]2=1-[x]2≥0,  ∴[x]2≤1. ∴0≤[x]2≤1.∵[m]表示不超过m的最

8、大整数,∴当[x]2=0[x]=00≤x≤1.当[x]2=1[x]=自变量x的取值范围是:-1≤x<2.x-1≤x<00≤x<11≤x<2[x]-101[x]2101[y]2=1-[x]2010[y]0-110y0≤y<

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