2012高考数学总复习 第九单元 第二节 空间几何体的表面积与体积课件.ppt

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1、第二节空间几何体的表面积与体积分析该三棱台的三个侧面为全等的等腰梯形，欲求三棱台的侧面积，只需求梯形的高．解设分别为三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，过O作OD⊥BC，则D1D为三棱台侧面梯形的高．过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝3/2，∵O1D1＝1/3A1D1＝1/3×OD＝1/3AD＝1/3×3则DE＝OD－O1D1＝规律总结求简单多面体的表面积，首先要弄清多面体的几何特征，特别是侧面和底面的联系，恰当应用平面几何图形的性质和相应面积公式．变式训练1一个长方体表面积是20，所有棱长

2、的和是24cm，求长方体的对角线长．【解析】设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、cm.依题意得：②式化简后两边平方得：x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2xz＝36，代换得x2＋y2＋z2＝16，即＝16，所以＝4(cm)．简单旋转体的表面积如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周成为几何体．求出该几何体的表面积．分析先判断旋转体的形状，并求出底面半径及母线长，以公式求面积．解由题意知，所得旋转体是：一个圆台挖去一个以圆台上底为底面的圆锥．如图所

3、示，过C作CE⊥AD，交AD延长线于E.如图所示，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，得到CE＝DE＝2，BC＝5.因此该旋转体的表面积为圆台的下底面积和侧面积以及圆锥的侧面积之和，∴S＝π×52＋π(2＋5)×5＋π×2×2＝(60＋4)π.规律总结求简单旋转体的表面积，首先要准确把握该旋转体的几何特征，特别是一些简单组合体表面积问题，它可能是由几个不同几何体的不同部分组成，需要分别求值，再求和．变式训练2如图，已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．【解析】如图，设截面圆心为

4、O′，连接O′A，设球半径为R，在正三角形ABC中，O′A=，在Rt△OO′A中，OA2＝O′A2＋O′O2，∴R＝4/3∴S＝4πR2＝64/9π.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周成为几何体，且∠BAC＝30°，求该几何体的体积．简单多面体、旋转体的体积解规律总结简单多面体和旋转体的体积计算，往往需要采取割补的办法，把一个不规则几何体的体积问题，转化为一个或几个规则几何体的体积问题．通过分别求这些规则几何体的体积，得到该简单几何体的体积．变式训练3如图所示，三棱柱中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体

5、积为的两部分，求【解析】(12分)如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA′＝8，若侧面AA′B′B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A′C′，B′C′的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？简单几何体表面积和体积的应用分析不论如何放置该三棱柱型容器，该容器内水的体积不变，但水形成的几何体的形状不同．解变式训练4如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．【解析】将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示．三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：∵a>b>c>

6、0，∴ab>ac>bc>0，故最短线路的长为.1．求几何体的表面积要充分利用几何体的特征，把空间几何图形转化为平面几何图形．把几何体的表面展开，是空间几何体的一种重要变换．它在求几何体的表面积和表面上最短距离等方面有很好的应用．2．计算柱、锥、台体的体积关键是依据条件找到底面积和高．需要充分利用几何体的相关截面，特别是旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．3．与球有关的组合体问题要仔细分析图形，明确切点和接点的位置，确定相关元素间的数量关系，并作出需要的截面图．4．割补法是求简单几何体体积的常用方法对于不规则的简单几何体的体积问题，往往通过分割或补形把不规则几何体化归

7、为规则几何体，即转化为易求体积的柱体、锥体和台体的问题，这充分体现了化繁为简、化难为易、化生为熟的化归思想．5．平行截面中的比例问题面积之比等于相似比的平方，体积之比等于相似比的立方．在由平行于锥体底面的平面截得的锥体和原锥体中，对应的底边长、棱长、高等长度之比，叫相似比．面积之比指的是两个锥体对应位置的面积之比．6．球的截面及其性质(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面．(2)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆，不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．(3)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．(4)球心和截面距离d，球半径R，截面