高考数学一轮单元复习 第31讲 平面向量的概念及其线性运算课件.ppt

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1、第31讲│平面向量的概念及其线性运算第31讲平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有　　又有　　的量叫做向量．(2)表示方法：用有向线段来表示向量．有向线段的表示向量的大小，用　　　　　　　表示向量的方向，用字母a，b，…或用…表示．(3)模：向量的　　叫向量的模，记作

2、a

3、或.(4)零向量：长度为　的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向不确定．第31讲│知识梳理知识梳理大小方向箭头所指的方向长度长度零(5)单位向量：长度为　　　　　　的向量叫做单位向量．(6)共线向量：　　　　　　　的向量叫共线向量，共线向量也叫平行向

4、量，规定零向量与任何向量共线．(7)相等的向量：　　　　　　　　　　向量叫相等的向量．2．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则，平行四边形法则．(3)运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).第31讲│知识梳理1个长度单位方向相同或相反长度相等且方向相同的3．向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则，平行四边形法则．4．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：

5、λa

6、＝

7、λ

8、

9、a

10、，当λ＞0时，λa的方向与a的方向　　

11、；当λ＜0时，λa的方向与a的方向　　；当λ＝0时，λa与a平行．(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.5．向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b＝λa，即b∥ab＝λa(a≠0)．第31讲│知识梳理相同相反探究点1向量的有关概念第31讲│要点探究要点探究例1判断下列各命题是否正确：(1)零向量没有方向；(2)若

12、a

13、＝

14、b

15、,则a=b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若共起点，则终点也相同；(6)若a＝b，b＝c则a＝c；(7)

16、若a∥b，b∥c，则a∥c；第31讲│要点探究(8)若四边形ABCD是平行四边形，则(9)a＝b的充要条件是

17、a

18、＝

19、b

20、且a∥b.【思路】正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明．【解答】(1)不正确，零向量方向任意；(2)不正确，只能说明模相等，还有方向；(3)不正确，单位向量的模为1，方向很多；(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式；(5)正确；(6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确，因若b＝0，则对不共线的向量a，c也有a∥0，0∥c；(8)不正确，如图(9)不正确，当a∥b，且方向相反时，即使

21、a

22、＝

23、b

24、，也

25、不能得到a＝b；第31讲│要点探究【点评】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的含义入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题．探究点2向量的线性运算第31讲│要点探究例2[2009·湖南卷]如图31－1所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()【思路】利用相等向量和三角形法则进行计算．第31讲│要点探究【点评】利用中位线的性质得到相等向量和相反向量是解题关键．向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则，如下题：【解析】A∵　　　　　∴得　　　　　　　　　或故选A.第31讲│要点探究变式题[2009·山东卷]设P是△

26、ABC所在平面内的一点，则()【思路】由图形可知：P为AC中点．【解析】B因为　　　　　　　　所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.探究点3共线向量定理的应用第31讲│要点探究例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【思路】(1)可证　　　　共线．(2)待定系数法求k.第31讲│要点探究【解答】(1)证明：∴共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．第31讲│要点探究(2)∵与　　　共线，∴存在实数λ，使即∴∵是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1

27、＝0.∴k＝±1.【点评】利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．若　　是两个不共线的非零向量，则的充要条件是λ＝μ＝0.这一结论结合待定系数法应用非常广泛．第31讲│要点探究变式题若　　是两个不共线的非零向量，　与　起点相同，则当t为何值时，　　　　　　　三向量的终点在同一条直线上？【思路】设出三向量的终点，利用条件列方程组．第31讲│要点探究【解答】设要使A、B、C三点共线，只需　　　　　＝λ(λ∈R)，即∴有∴当t＝　时，三向量终点在同一直线上．探究点4向量线性运算的综合问题第31讲│要点探究【思路】数形结合．例4[2009·全国卷Ⅰ

28、]设非零向量　　　满足则　　　＝()A．150°B．120°C．60°D．30°【解析】B由向量加法的平行四边形法则，知　　可构成菱形的