高等数学向量代数与空间解析几何习题.ppt

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1、向量代数与空间解析几何习题课一、主要内容（一）向量代数（二）空间解析几何向量的线性运算向量的表示法向量积数量积混合积向量的积向量概念（一）向量代数1、向量的概念向量的模、单位向量、零向量、自由向量、相等向量、负向量、平行向量、向径.2、向量的线性运算加、减、数乘3、向量的表示法向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：模、方向余弦的坐标表示式4、数量积、向量积、混合积各种积的坐标表达式两向量平行、垂直的条件直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间

2、直角坐标系（二）空间解析几何1、空间直角坐标系2、曲面旋转曲面、柱面、二次曲面3、空间曲线4、平面5、空间直线线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离两直线共面的条件共面6、平面束二、典型例题例1解由题设条件得解得例2设的三边三边中点分别为D、E、F试用表示并证明证ABCDEF例3已知证明①②证①ADCB而②因令得唯一驻点而时面积最大例4设求解由题设知两式相减得代入前式有故例5已知向量求与同时垂直，且在上投影为1的向量解由于同时垂直于而故可设而故故，所求向量为例6解过已知直线的平面束方程为由题设知由此解得代回平面束方程为例7解将两

3、已知直线方程化为参数方程为即有例8求过点且平行于平面又与直线相交的直线方程解设所求直线的方向数为则直线方程为化成参数方程，有代入已知直线方程，得又所求直线与已知平面平行（两边同乘以）解得直线方程为例9解所求投影直线方程为例10求直线在三个坐标面及平面上的投影解分别令参数方程中的x,y,z为0即可得直线在三个坐标面上的投影方程过直线作一平面与已知平面垂直直线的方向向量已知平面的法向量即为所求平面的法向量又点在所求平面上故所求平面的方程为即已知直线在所给平面上的投影直线的方程为例11解由于高度不变,故所求旋转曲面方程为例12求点到直线

4、的距离解一如图所示所求点到直线的距离等于平行四边形的高由向量积的几何意义得解二过M作一平面则平面的方程为再求直线和平面的交点直线的参数方程为代入平面方程，有交点坐标点到直线的距离为例13设和为异面直线求它们之间的距离解一所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足之间的距离。由于公垂线与都垂直故其方向向量为过作平行于的平面则到平面的距离就是所求的异面直线间的距离由于为的法向量的方程为公垂线长等于以为棱的平行六面体的高记记则到的距离解二设两垂足的坐标分别为解出求得垂足，得公垂线方程和公垂线长——异面直线间的距离例14过点作一直线，使和z轴

5、相交，且和直线垂直，求其方程[分析]求直线方程，或者求出直线所在的平面得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线上的两点得两点式方程解一用交面式直线过点B且与L垂直故直线在过B且与L垂直的平面内oxyzB即又过B且与z轴相交故在由B及z轴所组成的平面内即所求直线方程为解二用点向式已知过B，故只须求出其方向向量而故又过B且与z轴相交，即在由B及z轴所组成的平面内亦即共面所求直线方程为解三用两点式已知过B，故只须求出第二个点又与轴相交，可设法求出这个交点过B作平面，使得即求出z轴与的交点将代入，有交点为而在上

6、又和z轴相交，现与z轴只有唯一的交点oxyzB故即为与z轴的交点即