弹性力学--平面问题的极坐标解答2.ppt

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1、§4-4应力分量的坐标变换式在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。设已知极坐标中的应力分量、、。试求直角坐标中的应力分量、、。(与书中讲解内容相反)图4-4如图4-4，在弹性体中取微小三角板A，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分别为及。图4-4x根据三角板A的平衡条件，可得平衡方程：用代替，得：图4-4bc边的长度为

2、ds，则ab边及ac边的长度分别为及。同理，由平衡条件，可得：图4-4另取微小三角板B，如图4-4，根据平衡条件，得到：综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：利用简单的三角公式，上式可改写为：§4-5轴对称应力和相应的位移如果物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，通过对称轴的任何面都是对称面，称为轴对称问题。如果应力绕Z轴对称，应力分量仅是径向坐标的函数，与环向坐标无关,切应力为零。例如受内、外压的圆筒。应力数值轴对称—仅为的函数即:轴对称应力问题相容方程简化为:4阶变系数齐次微分方程采用逆解法，

3、假定应力函数仅是径向坐标ρ的函数:方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程令：有其特征方程方程的特征根为：于是，方程的解为：1.应力分量将方程（4-11）代入应力分量表达式将代回：2.位移分量对于平面应力问题，有物理方程（a1）（a2）（a3）积分式（a）中的第一式，有——是任意的待定函数（b）将式（b）代入式（a）中第二式，得将上式积分，得:（c）——是ρ任意函数或写成：要使该式成立，等式两边须为同一常数。将式（b）、（c）代入式（a）中第三式，（d）（e）式中F为常数。对其积分有：（f）其中H为常数。对式（

4、e）两边求导其解为：（g）（h）将式（f）（h）代入式（b）（c），得（b）（c）（4-13）具体说明：（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称的，但位移不是轴对称的。（3）实现轴对称应力的条件是，物体形状、体力和面力为轴对称。（1）在轴对称应力条件下，上面几个表达式为应力函数、应力和位移的通解，适用于任何轴对称应力问题。(4)轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。(5)轴对称应力及位移的通解，可以用于求解应力或位移边界条件下的任何

5、轴对称问题。(6)对于平面应变问题，只须将换为