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1、最大流问题给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为vs，仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。基本概念351142352vsv2v1v3v4vt对于G中的每一个弧(vi,vj)，相应地给一个数cij（cij≥0），称为弧(vi,vj)的容量。我们把这样的D称为网络（或容量网络），记为G＝(V,E,C)。所谓网络上的流，是指定义在弧集E上的函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量，简记为fij。3,15,21,01,04,12,23,15,22,1vsv2v1v3v4vt标示方式：
2、每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二是流量可行流、可行流的流量、最大流。可行流是指满足如下条件的流：（1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj),有（2）平衡条件：对中间点，有：（即中间点vi的物资输入量等于输出量）对收点vt与发点vs，有：（即vs发出的物资总量等于vt接收的物资总量），W是网络的总流量。可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可行流。所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可行流。一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi,vj)是饱和的，否则称f对边(vi,vj)不饱和。最大流问题实际上是一个线性规划问题。但利用它与图
3、的密切关系，可以利用图直观简便地求解。给定容量网络G＝(V,A,E)，若点集V被剖分为两个非空集合V1和V2，使vs∈V1，vt∈V2，则把弧集(V1,V2)称为（分离vs和vt的）割集。显然，若把某一割集的弧从网络中去掉，则从vs到vt便不存在路。所以，直观上说，割集是从vs到vt的必经之路。351142352vsv2v1v3v4vt注：有向边也称为弧。对教材P259定义21的解释vsv1v4v3vtv2边集（vs,v1），（v1,v3），（v2,v3），（v3,vt），（v4,vt）是G的割集。其顶点分别属于两个互补不相交的点集。去掉这五条边，则图不连通，去掉这五条边中
4、的任意1-4条，图仍然连通。割集的容量(简称割量)最小割集割集(V1,V2)中所有起点在V1，终点在V2的边的容量的和称为割集容量。例如下图中所示割集的容量为5351142352vsv2v1v3v4vt在容量网络的所有割集中，割集容量最小的割集称为最小割集（最小割）。对于可行流f＝{fij}，我们把网络中使fij＝cij的弧称为饱和弧，使fij0的弧称为非零流弧。设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若μ满足前向弧都是非饱和弧,后向弧都是都是非零流弧,则称μ是（可行流f的）一条增广链。3,15,21,0
5、1,04,12,23,15,22,1vsv2v1v3v4vt若μ是联结发点vs和收点vt的一条链，我们规定链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分成两类：前向弧、后向弧。对最大流问题有下列定理：定理1容量网络中任一可行流的流量不超过其任一割集的容量。定理2（最大流-最小割定理）任一容量网络中，最大流的流量等于最小割集的割量。推论1可行流f*＝{fij*}是最大流，当且仅当G中不存在关于f*的增广链。求最大流的标号法标号法思想是：先找一个可行流。对于一个可行流，经过标号过程得到从发点vs到收点vt的增广链；经过调整过程沿增广链增加可行流的流量，得新的可行流。重复这一过程，直到可
6、行流无增广链，得到最大流。标号过程:(1)给vs标号(-,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其余都是未标号点。(2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非饱和弧(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij–fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),fji]，vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点。(3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点，表明得到一条vs到vt的增广链，转入调
7、整过程；若所有标号点都检查过，表明这时的可行流就是最大流，算法结束。调整过程：在增广链上，前向弧流量增加l(vt)，后向弧流量减少l(vt)。下面用实例说明具体的操作方法：例(3,3)(5,1)(1,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)vsv2v1v3v4vt(3,3)(5,1)(1,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)vsv2v1v3v4vt在图中给出的可行流的基础上，求vs到vt的最大流。(-,+∞)(vs,4)(-v1,1)(-v2,1)(v2,1)(v
