线性定常连续系统状态方程的解.ppt

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1、线性定常连续系统状态方程的解求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分析的主要方法。本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论。下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩阵这一基本概念。该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变)等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(

2、t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。线性定常齐次状态方程的解什么是微分方程的齐次方程?齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的方程x’=Ax齐次状态方程满足初始状态的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外

3、力)时的自由运动。对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有级数展开法拉氏变换法1.级数展开法在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程在初始时刻t0=0的解。该方程中x(t)为标量变量,a为常数。由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。将所设解代入该微分方程,可得如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得令x(t)的解表达式中t=0,可确定q0=x(0)因此,x(t)的解表达

4、式可写为上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解。为此,设其解为t的向量幂级数,即x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得q1+2q2t+3q3t2+…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2+…+qktk+…)如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定q0=x(0)=x0因此,状态x(t)的

5、解可写为该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx02．拉氏变换法若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0,对方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求

6、得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。对标量函数,我们有将上述关系式推广到矩阵函数则有其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0=eAtx0上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。若初始时刻t0

7、0,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则可得解的另一种表述形式:状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数和初始状态x(t0)所决定。为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下:(t)=eAt因此,有如下关系式x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系(t)=L-1[(sI-A)-1]齐次状态方程的解描述了线性定常连续

8、系统的自由运动。由解的表达式可以看出,系统自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到t时刻的状态的转移刻划的,如图3-1所示。图3-1状态转移特性当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。所以,状态转移矩阵包含了