线性代数—二次型的标准形和规范形_2.ppt

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1、二次型的标准形和规范形第二节12一、二次型的标准形定义下面介绍二次型化为标准形的方法。31、用拉格朗日配方法化二次型为标准形拉格朗日配方法的基本步骤：2.　若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.1.　若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;4例1用配方法化二次型解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。含有平方项去掉配方后多出来的项5标准形为所用变换矩阵为6例2用配方法化二次型解为标准形，并写出对应的

2、可逆线性变换。所给二次型中无平方项，所以先作线性变换原二次型化为7再配方，得标准形为8所用变换矩阵为对应的线性变换为92、用正交变换法化二次型为标准形定理任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。而由正交阵性质可知，因此这样的正交10用正交变换化二次型为标准形的具体步骤11例3用正交变换将二次型解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵1213再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵正交化，14于是所求正交变换为标准形为15例4用正交变换将二次型解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵161718正交化，1920再单位化，合在一起，即得所求

3、正交变换的矩阵所作正交变换为标准形为21例5解22由题意,这两个矩阵相似,23二、二次型的规范形一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。24定理(惯性定理)p为正惯性指数,正负惯性指数的差称为二次型的符号差.为负惯性指数,无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称正惯性指数)和负的系数个

4、数(称负惯性指数)唯一确定.25继续作可逆线性变换矩阵形式为26二次型化为称之为二次型的规范形.定理任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是唯一的.化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换。27练习：P222习题五28ENDEND29选用例题1、用配方法化二次型为标准形，并写出对应的可逆线性变换。解所给二次型中无平方项，所以先作线性变换30所用可逆线性变换为31化为标准型，并指出表示何种二次曲面.2、求一正交变换，将二次型解对应特征向量为32再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵二次型的标准形33