2012年高中数学 1.3.2.1 函数奇偶性的概念课件 新人教A版必修1.ppt

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1、第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1.3.2奇偶性第1课时　函数奇偶性的概念1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．奇、偶函数的定义域和图象特征，要在理解的基础上学习．3．掌握判断函数奇偶性的方法.研习新知新知视界1．函数奇偶性的概念(1)偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于y轴对称．(2)奇函数的图象

2、关于原点中心对称．2．对于某个函数f(x)，存在x0使得f(－x0)＝f(x0)，这个函数是偶函数吗？提示：不是．函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质，必须是对任意的x都成立才能说明该函数具有奇偶性．自我检测1．函数f(x)＝

3、x

4、是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：函数定义域为R，且f(－x)＝

5、－x

6、＝

7、x

8、＝f(x)，所以f(x)是偶函数．答案：B2．函数f(x)＝x＋x3的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x－x3＝－(x＋x3)＝－f(x

9、)，所以f(x)是奇函数．答案：A答案：D4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，∴区间[3－a,5]关于原点对称，∴3－a＝－5，a＝8.答案：8解：(1)f(x)的定义域为{2}，因此函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f(x)＝(x＋1)3－3(1＋x2)＋2＝x3＋3x.∵f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．互动课堂典例导悟类型一　　函数奇偶性的判断[例1]判断下列函数的奇偶性：[分析]由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)的解析

10、式均已知；②判断奇偶性问题．解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证f(x)与f(－x)之间的关系来确定奇偶性．[解](1)函数定义域为R.f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)函数的定义域为{x

11、x≠－1}．不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)①当x<0时，－x>0.f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)；②当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，综上可知

12、f(x)为奇函数．[点评]判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结

13、论时要注意各函数的定义域)(4)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，另一方面，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．类型二　　奇函数、偶函数图象的对称性[例2]奇函数y＝f(x)的局部图象如图1所示，试比较f(2)与f(4)的大小．[解]因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，而由函数图象可知f(－2)－f(－4)，所以f(2)>f(4)．[点评]给出奇函数(或偶函数)的图象的一部分，根

14、据奇函数(或偶函数)图象的对称性可以作出图象的另外一部分．如本题，因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，可以作出y轴右侧的图象，从而比较f(2)与f(4)的大小．变式体验2如图2，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．图2图3解：奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))．如图3为补充后的图象，易知f(3)＝－2.类型三　　根据奇偶性求函数解析式[例3]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式．[分析]由奇函数

15、的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算