【学海导航】2012届高三数学第一轮总复习 2.6 反函数课件.ppt

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1、第二章函数1考点搜索●反函数的定义及其求法●分段函数的反函数的求法●互为反函数的函数图象间的关系●反函数的性质及应用2.6反函数2高考猜想高考比较重视对反函数的考查，试题多以考查基础知识为主；经常考查的有：反函数的求法；反函数的概念；反函数在某点的函数值；反函数与原函数之间的关系，包括定义域与值域的关系、单调性的关系、函数图象的关系等.3一、反函数的概念1.设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出x=φ(y).如果对于C中每个y值，在A中都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)为以y为自变量的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y

2、).通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作①_______.2.反函数的定义域和值域分别是原函数的②_____和③________.y=f-1(x)值域定义域4二、反函数的求解步骤第一步从y=f(x)中求出x，第二步④_______________;第三步确定y=f-1(x)的定义域，即原函数的⑤_____.三、原函数与反函数图象间的关系1.原函数与其反函数的图象关于⑥______对称.2.若点P(a，b)在y=f(x)的图象上，则点⑦______在y=f-1(x)的图象上.交换x、y的位置值域直线y=x(b,a)5四、反函数的性质若y=f(x)的图象关于直

3、线y=x对称，则y=f(x)的反函数是⑧_______.五、两个重要结论1.若y=f(x)存在反函数,x∈A,y∈C,则f-1［f(x)］=⑨___，f［f-1(x)］=⑩___.2.已知y=f(x)，求f-1(a)可以利用11_______，从中求出x，即f-1(a).盘点指南：①y=f-1(x);②值域；③定义域；④交换x，y的位置;⑤值域；⑥直线y=x;⑦(b，a);⑧其自身；⑨x;⑩x;11f(x)=a其自身xxf(x)=a6函数y=1+(0≤x≤4)的反函数是()A.y=(x-1)2(1≤x≤3)B.y=(x-1)2(0≤x≤4)C.y=x2-1(1

4、≤x≤3)D.y=x2-1(0≤x≤4)解：由y=1+(0≤x≤4)，得x=(y-1)2，且1≤y≤3，所以其反函数是y=(x-1)2(1≤x≤3)，故选A.A7若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a,a)，则f(x)=()A.log2xB.logxC.D.x2解：f(x)=logax，代入(a,a)，解得a=，所以f(x)=logx，故选B.B8函数的反函数为自身的条件是()A.a=0,b=0B.a=1,b∈RC.a=1,b≠-1D.a=-1,b=0解：因为函数的反函数为自身，所以，则a=1，b≠-1.故选C.C91

5、.求下列函数的反函数.(1)f(x)=x2-3x+2(x≤1);(2)f(x)=解：(1)由y=x2-3x+2=(x-)2-，得(x-)2=y+.因为x≤1，所以x-=-，即x=-.题型1反函数的求法10又当x≤1时，x-≤-(x-)2≥.所以y≥0，故f-1(x)=(x≥0).(2)当x∈(0，1］时，由y=x2-1，得x=.又0＜x2≤1，所以-1＜y≤0.当x∈［-1，0)时，由y=x2，得x=-，又0＜x2≤1，所以0＜y≤1.故f-1(x)=11点评：求反函数的解析式应注意两点：一是先把解析式看为自变量的方程，在定义域范围内求得自变量；二是须求得反

6、函数的定义域(也可求原函数的值域).12求下列函数的反函数.(1)f(x)=x2-2x-1(x≤0);(2)f(x)=1-(-1≤x＜0).解：(1)由y=x2-2x-1=(x-1)2-2，得(x-1)2=y+2.因为x≤0，所以x-1=-，即x=1-.又当x≤0时，x-1≤-1，故(x-1)2≥1，则y≥-1，所以f-1(x)=1-(x≥-1).(2)由y=1-，得=1-y，所以1-x2=(1-y)2，即x2=2y-y2.因为-1≤x＜0，所以x=-，且y∈(0，1］.所以f-1(x)=-(0＜x≤1).132.已知函数f(x)=,y=g(x)的图象与y=f

7、-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g()的值.解法1：(着力于寻求f-1(x+1)的解析式)由已知得f-1(x)=(x≠-2),所以f-1(x+1)=-(x≠-3).又由题设知g(x)的反函数为f-1(x+1)，所以g-1(x)=f-1(x+1),所以g-1(x)=-.①题型2互为反函数的函数图象间的关系14令g()=b，则g-1(b)=.②所以由①②得，解得b=-1，所以g()=-1.解法2:(利用正反函数值的转化)令g()=b，则g-1(b)=.①又由题设知g(x)的反函数为f-1(x+1)，所以g-1(x)=f-1(x+1).②所以由①②得f-1

8、(b+1)=,所以f()=b+1,所以