高等代数试卷及答案(二)

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1、一、填空题（共10题，每题2分，共20分）1．只于自身合同的矩阵是零矩阵。2．二次型的矩阵为__________________。3．设是实对称矩阵，则当实数________充分大_________,是正定矩阵。4．正交变换在标准正交基下的矩阵为________正交矩阵_______________________。5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。7．在中定义线性变换为：

2、，写出在基下的矩阵_______________________________。8．设、都是线性空间的子空间，且，若，则_____________________。9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。10．向量在基（1）与基（2）下的坐标分别为、，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为，则与的关系为_____________________________。二、判断题（共10题，每题1分，共10

3、分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（）2．设为维线性空间上的线性变换，则。（）3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（）4．设与分别是齐次线性方程组与的解空间，则（）5．为正定二次型。（）6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（）7．把复数域看作复数域上的线性空间，，令，则是线性变换。（）8．若是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。（）9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（）10．若为()中的微分变换，则不可对角化。（）三、计

4、算题（共3题，每题10分，共30分）1．设线性变换在基下的矩阵为，求的特征值与特征向量，并判断是否可对角化？2．取什么值时，下列二次型是正定的？3．设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为：,求在基，下的矩阵。四、证明题（共4题，每题10分，共40分）1．证明：与相似，其中是的一个排列。2．证明：和是直和的充要条件为：。3．设是级实对称矩阵，且，证明：存在正交矩阵，使得：4．证明：与合同，其中是的一个排列。答案一．1．2．3.充分大4.正交矩阵5.6.有个线性无关的特征向量7.8.9.10.二．1.2.3.4.√5.6

5、.7.8.√9.10.√三．1.解：（3分）所以，的特征值为（二重）和。把代入方程组得：基础解系为因此，属于得两个线性无关得特征向量为：因而属于的全部特征向量就是，、取遍中不全为零的全部数对（6分），再用代入得：基础解系，因此，属于5的全部特征向量是，是中任意不等于零的数。（9分）因为有三个线性无关的特征向量，所以可能对角化。（10分）2.解：的矩阵为：，，。得：当时，是正定的。3．解：（2.5分）（2.5分）（2.5分）在基下的矩阵为（2.5分）四．1.证：任意维向量空间，的基，则唯一使（3分）即在基下的矩阵为（6分

6、）与相似（1分）2．证：是直和（3分）（2分）令（3分），同理是直和。（2分）3．证：设是的任一特征值，使，或实对称矩阵正交矩阵，使4．证：、对应的二次型分别为令，所以，与合同。