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1、新课引入上一节我们讲述了对面积的曲面积分，这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。前面我们讲述了两类曲线积分：对弧长曲线积分（第一类）对坐标曲线积分（第二类）。同样我们也要讲述两类曲面积分：对面积的曲面积分（第一类）对坐标的曲面积分（第二类）。7/22/20211第五节对坐标的曲面积分第九章（Surfaceintegralofcoordinate)一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算三、两类曲面积分之间的联系四、小结与思考练习7/22/20212曲面的侧设连通曲面S上到处都有连续变动的
2、切平面(或法线),曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时,另一个指向就是负方向.又设为S上任一点,L为S上任一经过点且不超出S边界的闭曲线.当S上的动点M从出发沿L连续移动一周而回到时,7/22/20213否则,若由某一点出发,沿S上某一封闭曲线回到时,其法线方向与出发时的方向相反,则称S是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(Möbius)带.它的构造方法如下:取一矩形长纸条ABCD(如图22-4(a)),将其一端扭转后与另一端粘合在
3、一起(即让A与C重合,B与D重合,如图22-4(b)所示).出发时M与取相同的法线方向,而回来时仍保持原来的法线方向不变,则称该曲面S是双侧的.如果有如下特征:7/22/20214默比乌斯(Möbius,A.F.1790－1868,德国)7/22/20215通常由所表示的曲面都是双侧曲面,其法线方向与z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧.当S为封闭曲面时,法线方向朝外的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.习惯上把上侧作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为正侧,内侧作为负侧.曲面法向量的
4、指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.7/22/20216•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)7/22/20217曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面7/22/20218莫比乌斯带典型单侧曲面:播放7/22/20219莫比乌斯带典型单侧曲面:7/22/202110典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202111典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202112典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202113典型单侧曲面:
5、莫比乌斯带7/22/202114典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202115典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202116典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202117典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202118典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202119典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202120典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202121典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202122典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202123典型单侧曲面:莫比乌斯带7/22/202124典型单侧曲面:
6、莫比乌斯带7/22/202125曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:一、对坐标的曲面积分的概念与性质1.有向曲面及其在坐标面上的投影概念以后如未作特别说明，我们所讨论的曲面都是双侧的.7/22/202126的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:分别表示在三个坐标面上7/22/2021272.流向曲面一侧的流量计算7/22/2021287/22/2021291.分割则该点流速为.法向量为.7/22/2021302.求和7/22/2021313.取极限7/22/
7、2021323.对坐标的曲面积分的概念7/22/202133被积函数积分曲面类似可定义7/22/202134存在条件:组合形式:物理意义:7/22/2021354.对坐标的曲面积分的性质7/22/202136二、对坐标的曲面积分的计算7/22/2021377/22/2021387/22/202139注意:第二型的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.“一投,二代,三定号”7/22/2021407/22/2021417/22/2021427/22/2021437/22/202144例3.计算其中S是由平面x=
8、0,y=0,z=0和x+y+z=1所围的四面体表面的外侧.解设S1是取上侧S2是S的底部取下侧在xy坐标面上的投影区域为Dxy先计算积分7/22/202145由对称性7/22/202146三、两类曲面积分之间的联系7/22/2021477/22/2021487/22/2021497/22/2021507/22/2021517/22/202152解7/22/2021537/22/202154内容小结1.对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时应注
