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1、中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理微分中值定理一、函数的极值定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,§2.6微分中值定理二、定理1(费马定理）设函数f(x)在x0
2、可导，若x0是f(x)的一个极值点，则f’(x0)=0.证：不妨设x0为f(x)的极大值点，则使对有§2.6微分中值定理三、罗尔(Rolle)定理注意：与零点定理的区别与联系.几何解释:例如:证由费马定理，必有如果f(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件，因此,也称罗尔定理为导函数方程根的存在定理.也就是导函数方程ƒ′(x)=0小结1：举例1注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,分析：(1)根的存在性：介值定理等；(2)唯一性：反证法注意：罗尔定理在这里用于反证法推出矛盾分析：通过结论猜测可能用到2次罗尔定理.
3、类型题:8题则考虑介值定理/罗尔定理分析：小结：注意罗尔定理在证明根“唯一性”问题中的应用四、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值公式注意：结合平均变化率与瞬时变化率的实际例子来理解。分析：归结为导函数根的存在性问题；考虑罗尔定理。几何解释:证作辅助函数推论1证作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),由题设根据推论1知F(x)=C(C为一常数),即f(x)-g(x)=C,故f(x)=g(x)+C.用此结论求分段函数在分界点的导数简便些.关键要满足：函数在分界点左(右)连续函数在分界点连续因此证使得同理：问题关键要满足：函数在分界点连续解显然，f(x)在R连续(请同学们
4、自己证明）.由推论３有:例9证由上式得注意：拉格朗日定理在证明不等式中的应用。即习题8五、柯西(Cauchy)中值定理证例11证小结：用倒推法寻找思路。(习题)费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是
5、对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,
