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1、第3章微分中值定理与导数的应用§3.5曲线的凹凸性与拐点§3.1微分中值定理§3.2洛必达法则§3.3函数单调性的判别法§3.4函数的极值与最值§3.6曲线的渐近线1中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理§3.1微分中值定理3复习:导数的几何意义曲线在点的切线斜率为问题:下面几个图形的特点在附近，是最大的或最小的.对应的点切线平行于轴.特点:结论:4一、罗尔(Rolle)定理费马(fermat)引理且存在证在内有定义仅证明的
2、情况.若则有若则有5证毕6定理3.1罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续;(2)在区间(a,b)内可导;(3)使在(a,b)内至少存在一点几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的.7证因此故在上取得最大值因在上连续，和最小值.(1)若,则由此得(2)若最值不可能同时在端点取得，设则在内至少存在一点使因此，由费马引理知，证毕8注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如92)定理条件只是充分的.使本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证在上满足罗尔定理.10证明方程在[0,1]
3、内不可能有两个不同的实根.例211证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证1)存在性则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,之间至少存在一点但矛盾,故假设不真!设所以在练习112罗尔定理的推广13二、拉格朗日中值定理满足:至少存在一点使(1)在区间上连续；(2)在区间内可导；几何解释:成立.在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB.定理3.214证分析:弦AB方程思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数.条件中与罗尔定理相差曲线方程曲线f(x)减去弦AB所得曲线在a,b两
4、端点的函数值相等.15作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证毕由罗尔定理知至少存在一点且16拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值定理的有限增量形式:增量△y的精确表达式设则有17推论1若函数在区间上满足则在该区间上必为常数.在内任取两点证在上拉格朗日中值公式,得由的任意性知,在(a,b)内为常数.18推论2如果在开区间I上因对内任意一点有证由推论1可知由导数运算法则19例3证明等式:证设由推论1可知(常数),令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上则在上20例4证明不等式:证设拉格朗日中值定理条件,
5、即因为故因此应有则在上满足21三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及至少存在一点使满足要证(1)在区间上连续；(2)在区间内可导；(3)在区间内定理3.322证作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.23柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率24证明在内至少存在一点使分析:可得证设由题意知由罗尔定理可知使即设函数在上连续，在内可导，在上连续，在内可导，例5在内至少存在一点25练习设至少存在一点使证结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点
6、,使即证明,.26内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理27
