计算机数学基础一求导方法.ppt

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1、2021/10/811.4求导方法本节内容1.4.1按定义求导数1.4.2导数的四则运算法则1.4.3复合函数的求导法则1.4.4求导例题1.4.5隐函数求导法2021/10/82例1-23求函数f(x)＝sinx的导数。解1.4.1按定义求导数2021/10/83续解即对于任意x∈R，用类似方法可以得到，对于任意x∈R，1.4.1按定义求导数（续一）2021/10/84例1-24求函数f(x)＝logax(a＞0,a≠1)的导数。解1.4.1按定义求导数（续二）2021/10/85续解即对任意x＞0，特别地，对任意x

2、＞0，1.4.1按定义求导数（续三）2021/10/86定理1-7设函数u＝u(x)和v＝v(x)在点x处都可导，则（1-21）（1-22）（1-23）注意：1.4.2导数的四则运算法则2021/10/87特别地，如果法则（1-22）中v(x)＝c（c是常数），因，有（1-24）如果法则（1-23）中u(x)=1，有（1-25）1.4.2（续四）2021/10/88求下列函数的导数.例1:例2:例3例4:2021/10/89例5求的导数。2021/10/810课堂练习求下列函数的导数2021/10/8112021/10

3、/812思考求下列函数的导数2021/10/813定理1-8设y＝f(u)，u＝g(x)，且u＝g(x)在点x处可导，f(u)在相应的点u处可导，则复合函数y＝f[g(x)]在点x处可导，且（1-26）或写成（1-27）1.4.3复合函数的求导法则2021/10/814显然，复合函数求导法则（1-26）或（1-27）可以推广到多个函数复合的情形。例如，如果y＝f(u)，u＝g(v)，v＝h(x)，满足定理1-8的条件，则有上式右端按y→u→v→x的顺序求导，通常称为链式法则。1.4.3（续一）2021/10/8151.

4、4.3（续二）例1求y=sin6x的导数。例2求函数的导数。2021/10/816对于幂函数有比较常见的情况2021/10/817练习求下列函数的导数：2021/10/818(1)(c为常数)(2)(3)(4)(5)(6)基本初等函数的导数公式2021/10/819(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)（续）2021/10/820例1求下列函数的导数（其中只有x、t是自变量）：（1）（2）（3）（4）1.4.4求导例题2021/10/821（1）解这一类函数的特点是：分母只是的幂函数。对这类函数用负

5、指数最简便，如果用函数相除的求导公式（3）也可以解，但比较麻烦。1.4.4求导例题（续一）2021/10/822（2）解对括号的若干次方这一类函数求导用复合函数求导法则最简便，一般不要把括号展开。1.4.5求导例题（续二）2021/10/823（3）解（4）解1.4.4求导例题（续三）2021/10/824例2（1），求。解1.4.4求导例题（续四）2021/10/825练习求下列各函数的导数2021/10/8261.4.5隐函数求导法凡是因变量y用自变量x的表达式表示的函数y＝f(x)称为显函数。前面介绍的求导法适用

6、于显函数。但有时两个变量之间的函数关系由一个方程F(x,y)＝0确定，这种由方程所确定的函数称为隐函数。有些隐函数可以变换为显函数，但也有不能变换为显函数的。对隐函数求导就是把其中的一个变量看成另一个变量的函数（虽然并没有用显式表示）。2021/10/8271.4.4隐函数求导法（续一）例1求由方程xy＋y－x－8＝0所确定的函数的导数。解方法1变换为显函数，因此（a）方法2原方程两边分别对求导（注意：y是x的函数），得因此（b）2021/10/828例1-32用隐函数求导法求函数y＝arcsinx的导数。解将y＝ar

7、csinx改写成x＝siny，两边对x求导，得因为函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是，因此cosy≥0，所以即1.4.4隐函数求导法（续二）29仿此题可以证明例2求椭圆在点处的切线方程。解把椭圆方程两边分别对求导，有从而有1.4.4隐函数求导法（续三）30续解将代入上式得将有关数据代入切线方程（1-20）得整理后得1.4.4隐函数求导法（续四）31续解将代入上式得将有关数据代入切线方程（1-20）得整理后得1.4.4隐函数求导法（续四）32补充：导数的应用一、函数单调性的应用由导数的几何意义知（其中a

8、为曲线f(x)在点x0处的切线与x轴正向的夹角）。由图可知，若f’(x0)>0，则曲线切线的倾角a都是锐角，函数f(x)单调递增；若f’(x0)<0,则曲线切线的倾角a都是钝角，函数f(x)单调递减。因此，可以利用导数的正负来判断函数的单调性。33函数单调递增。的夹角内，切线与在轴正方向，斜率为正，即34函数单调递减。的夹角内，切