全国数学竞赛试卷答案2010[1]1030考试.pdf

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1、第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2010）一（本题共5小题，每小题5分，共25分）、计算下列各题（要求写出重要步骤）.n22(1)设x=+⋅+(1aa)(1)"(1+a)，其中a<1，求limx.nnn→∞解将x恒等变形n22n1222n1xa=−+⋅+(1)(1aaa)(1)"(1+)=−⋅+(1aaa)(1)"(1+)n1−a1−an+12442n11−a=−⋅+(1aaa)(1)"(1+)=，1−a1−an2由于a<1，可知lima=0，从而n→∞1limx=.nn→∞1−a2x−x⎛⎞1(2)

2、求lime⎜⎟1+.x→∞⎝⎠xx2xx−x⎛⎞1⎡⎤⎛⎞1−1解lime⎜⎟1+=lim⎢⎥⎜⎟1+ex→∞⎝⎠xx→∞⎢⎥⎣⎦⎝⎠x⎛⎞⎡x⎤⎛⎞1⎛⎞⎡⎛⎞1⎤=explimln1⎜⎟⎢⎜⎟+−1⎥x=explim⎜⎟xx⎢ln1⎜⎟+−1⎥⎜⎟⎝⎠x→∞⎢⎣⎝⎠x⎥⎦⎝⎠x→∞⎣⎝⎠x⎦1⎛⎞⎡⎤⎛⎞111−=explim⎜⎟xx⎢⎥⎜⎟−+ο()−1=e2.22⎝⎠x→∞⎣⎦⎝⎠xxx2+∞−sxn(3)设s>0，求I=exdx(1n=,2,").n∫0−sxn解因为s>0时，limex=0，所以，x→+∞11+∞n−−

3、−sx⎡⎤nsx+∞+∞sxnnI=−xde=−xe−edx=Inn−1ss∫∫00⎢⎥⎣⎦0snnn−1!nn!由此得到，II==⋅I="==Inn−−12nnn0+1sssss122221∂∂gg(4)设函数f(t)有二阶连续的导数，rxy=+，gxy(,)=f()，求+.22r∂∂xy∂∂rxry解因为==,，所以∂∂xryr2222∂gx1∂−gx12xy1=−f′()，=+ff′′()′().3265∂xrr∂xrrrr22∂∂gg1111利用对称性，+=ff′′()+′()2243∂∂xyrrrr⎧xy−=0xyz−2

4、1−−3(5)求直线l1:⎨与直线l2:==的距离.⎩z=042−−1xyz解直线的对称式方程为ll:==.记两直线的方向向量分别为11110GJGl=(1,1,0)，l=−−(4,2,1)，两直线上的定点分别为P(0,0,0)和P(2,1,3)，1212GJJJJGaP==P(2,1,3).12GJGll×=−−(1,1,6).由向量的性质可知，两直线的距离12GGJGall⋅×()−+−2118191912d===GJG=ll×1136++38212二（本题共15分）、设函数f(x)在(−∞,+∞)上具有二阶导数，并且fx′′

5、()0,>limfx′()=>α0，limfx′()=β<0，且存在一点x，使得f(x)<0.00x→+∞x→−∞证明：方程f(x)=0在(−∞,+∞)恰有两个实根.证1.由limfx′()=>α0必有一个充分大的a>x，使得fa′()0>.0x→−∞fx′′()0>知yfx=()是凹函数，从而f()xfafaxaxa>+()′()(−)(>)当x→+∞时，ff()()+∞+′a()x−a→+∞.故存在b>a，使得fb()>+fafaba()′()(−)0>………………（6分）2同样，由limfx′()=<β0，必有cx<，使得f

6、c′()0<.0x→−∞fx′′()0>知yfx=()是凹函数，从而f()xfcfcxcxc>+()′()(−)(<)当x→−∞时，ff()()−∞+′c()x−c→+∞.故存在d+fcfcdc()′()(−)0>……………………（10分）在[,]xb和[,]dx利用零点定理，∃x∈(,)xbx∈(,)dx使得0010，20fx()==fx()0………………………（12分）12下面证明方程f(x)=0在(−∞,+∞)只有两个实根.用反证法.假设方程f(x)=0在(−∞,+∞)内有三个实根，不妨设为xx,x,，1

7、23且x矛盾.从而方程f(x)=0在(−∞,+∞)不能多于两个根.……………………（15分）证2.先证方程f(x)=0至少有两个实根.由limfx′()=>α0，必有一个充分大的a>x，使得fa′()0>.0x→+∞因f(

8、x)在(−∞,+∞)上具有二阶导数，故f′()x及f′′()x在(−∞,+∞)均连续.由拉格朗日中值定理，对于x>a有f()[()xf−+−afaxa′()()]=f()xfafaxa−()−−′()()]=f′′(ξ)()(xafaxa−−)()