函数的极值与最大最小值.ppt

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1、1主要内容：第三章微分中值定理与导数的应用第五节函数的极值与最大最小值一、函数的极值及其求法;二、最大值最小值问题.2问题：f(a)和f(b)是极值吗？函数的极值一、函数的极值及其求法设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。x1x2x3x4x5函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.观察与思考：观察极值与切线的关系.3驻点:导数的零点.定

2、理1(必要条件)如果x0为f(x)的极值点,那么f(x0)0或f(x0)不存在.讨论：驻点是否一定是极值点？考察x=0是否是函数y=x3的驻点,是否是函数的极值点.x1x2x3x4x5费马(Fermat)引理设f(x0)为函数f(x)在开区间(ab)内的最大(小)值,若f(x0)存在,则f(x0)04定理1(必要条件)如果x0为f(x)的极值点,那么f(x0)0或f(x0)不存在.x1x2x3x4x5费马(Fermat)引理设f(x0)为函数f(x)在开区间(ab)内的最大(小)值

3、,若f(x0)存在,则f(x0)0观察与思考：观察曲线的升降与极值之间的关系.驻点:导数的零点.5设函数f(x)在x0处连续且在(ax0)(x0b)内可导(1)如果在(ax0)内f(x)0在(x0b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(ax0)内f(x)<0在(x0b)内f(x)>0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(ax0)及(x0b)内f(x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值定理2(第一充分条件)

4、6例1(1)f(x)在()内连续解(3)列表判断x1为f(x)的不可导点得驻点x1(2)令f(x)0(1)1(11)1(1)不可导0xf(x)f(x)↗0↘↗7解令得驻点x=e.当0e时,例2讨论方程lnx=ax(a>0)有几个实根?f(x)在[e,+∞)上单调减少,值域为(0,e-1].当a>e-1时,方程lnx=ax无实根;当a=e-1时,方程lnx=ax有一个实根;当0<

5、ae时,例2讨论方程lnx=ax(a>0)有几个实根?f(x)在[e,+∞)上单调减少,值域为(0,e-1].当a>e-1时,方程lnx=ax无实根;当a=e-1时,方程lnx=ax有一个实根;当0

6、时函数f(x)在x0处取得极大值(2)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值.定理3(第二充分条件)10定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0那么(1)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极大值(2)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值.证(1)因此,当充分小时,(由极限的保号性)可见,与异号.所以,(2)类似可证.11定理3(第二充分条件)应注意的问题：如果f(x0)0f(x0)0则定理3不能应用

7、但不能由此说明f(x0)不是f(x)的极值.讨论：函数f(x)x4g(x)x3在点x0是否有极值？设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0那么(1)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极大值(2)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值.12例3求函数f(x)(x21)31的极值解f(x)6x(x21)2令f(x)0求得驻点x11x20x31f(x)6(x21)(5x21)因为f(0)60所以f(

8、x)在x0处取得极小值为f(0)0因为f(1)f(1)0所以用定理3无法判别因为在x=1的左右邻域内f(x)0所以f(x)在x=1处没有极值同理f(x)在x=1处也没有极值13例4求函数f(x)exsinx的极值解f(x)ex(sinx+cosx)令f(x)0得驻点f(x)2excosx因为所以为极小值.因为所以为极大值.14二、最大值最小值问题观察与思考：观察哪