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《函数的极值与最大最小值课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、函数的极值及其求法注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如(P146例4)为极大点,是极大值是极小值为极小点,函数极值的求法费马(fermat)引理----必要条件在驻点或者是连续不可导点中去寻找.因此寻求极值点的方法:注意:例如,定理1(极值第一判别法)(是极值点情形)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,求极值的步骤:(不是极值点情形)(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点;(2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点;(3)求出
2、极值点的函数值,即为极值.例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例2解图形如下注：运用第二充分条件求极值也有它的局限性.若ƒ(x)在驻点这三个函数在x=0处就分别属于这三种情况.从而当只能用第一充分条件来判定处的二阶导数ƒ(x)在处可能有极大值,也可能有极小值,例如:也可能没有极值.(只需点连续即可)例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点
3、令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例4定理3(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得例如,例3中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~定理3)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值----驻点和不可导点特别:当在内只有一
4、个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)例5.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:故函数在取最小值0;在取最大值.求最大值。例6.设是任意两正数，满足：解:设即求f(x)在(0,a)内的最大值令得是区间唯一的驻点，故为区间(0,a)之间的最大值(k为某一常数)例7.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以
5、为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例8.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值
6、点应在极值点和边界点上找;f(x)在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一的极值点，则必最值点。2.连续函数的最值在实际问题中，如果f(x)有唯一的驻点，则一般为最值点。思考与练习1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D由保号性P452（3）.当
