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1、厦门一中2011级自主招生辅导讲义—数学—黄昌毅2012年北京大学保送生考试数学试题1.已知数列{a}为正项等比数列，且a+a−a−a=5，求a+a的最小值．n3412562．已知fx()为二次函数，且afa,(),ffa(()),fffa((()))成正项等比数列，求证：fa()=a．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC的三边满足a>>bc，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为acsinB．ac+sinB4．从O点发出两条射线ll,，已知直线l交ll,于AB,两点，且S
2、=c（c为定值），1212∆OAB记AB中点为X，求证：X的轨迹为双曲线．5．已知ai(=1,2,⋯,10)满足a+a+⋯+a=30,aa⋯a<21，求证：i12101210∃aii(=1,2,⋯,10)，使ai<1．2012年清华大学保送生考试数学试题一、填空题1.若复数z为虚数,且
3、
4、1z=,Re(⋅−z(12))1i=,则z=____________.1182.在数列{}a中,a=1,a=a+2.若数列{}的前n项和为,则n1n+1naa37nn+1n=____________.3.现有6人会英语,4人会日语,2人
5、都会(共12人),从其中选出3人做翻译,要求两种语言都有人做翻译,则符合条件的选法种数为____________.4.有一人进行投篮训练,投篮5次,失误一次扣1分,进一次得1分,连进2次得3分,连进23次得5分.若投篮的命中率为,则投篮3次恰好得2分的概率为____________.51厦门一中2011级自主招生辅导讲义—数学—黄昌毅1115.不定方程++=1(x≤y≤z)的解(,,)xyz的组数为____________.xyz6.某几何体的三视图如右图所示,用αβγ,,分别表示主视图、左视图、俯视图,设SSS,,是实
6、际几何体中能看到的面积,αβγ443则SSS,,从小到大的顺序为αβγαβγ____________.二、解答题127.抛物线y=x与直线l:y=+x4所围成区域中有一个矩形ABCD,且点AB,在抛2物线上,点D在直线l上,其中点B在y轴右侧,且
7、AB
8、2=t(t>0).(1)当AB与x轴平行时,求矩形ABCD面积St()的函数关系式；(2)当边CD在直线l上时,求矩形ABCD面积的最大值.38.已知函数fx()=2cosx⋅(sin2x+)sin3−x,且x∈[0,2]π.2(1)求函数fx()的最大值和最小值；(2)
9、求方程fx()=3的解.xe−19.已知函数fx()=ln,且数列{}a满足:a=1,a=fa().n1n+1nxxx(1)求证:xe⋅−e+≥10恒成立；(2)求函数fx()的单调区间；(3)求证:数列{}a单调递减,且a>0恒成立.nn10.在∆OAB内(含边界),其中O为坐标原点,点A,B分别在在x轴,y轴的正半轴上,且OAOB==2.(1)用方程或不等式表示∆OAB围成的区域；(2)求证:在∆OAB内的任意11个点,总可以分成两组,一组中各点的横坐标之和不大于6,另一组中各点的纵坐标之和不大于6.2厦门一中201
10、1级自主招生辅导讲义—数学—黄昌毅2013年北京大学保送生考试数学试题【第1题】∆ABC内点M满足∠CMB=100°，线段BM的中垂线交边AB于P，线段CM的中垂线交边AC于Q，已知：P、M、Q三点共线，求∠CAB.abc【第2题】正数abc,,满足a<+bc，求证：<+.1+a1+b1+c【第3题】是否存在两两不同的实数abc,,，使直角坐标系中的三条直线y=axby+,=bxcy+,=cxa+共点.【第4题】对{1,2,⋯9}的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数.【第5题】在一个201
11、32013×的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.3厦门一中2011级自主招生辅导讲义—数学—黄昌毅2013年清华大学保送生考试数学试题⎡⎤n⎢⎥⎣⎦32⎡n−3i⎤⎡n+2n+4⎤【第1题】求证：∑⎢⎥=⎢⎥.i=0⎣2⎦⎣12⎦2m2nkk∏(1−x)⋅∏(1−x)k=1k=1【第2题】求证：为关于x的整系数多项式.mnmn+kkk∏(1−x)⋅∏(1−x)⋅∏(1−x)k=1k=1k=12ab222555【第3题】已知abc=−1,+=1
12、,abbcca++=t，求ab+bc+ca的值.2cc【第4题】求证：平面内间跟为d的一组平行直线，任意放一长为ll(
