线性代数习题答案(7).pdf

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1、习题七1.求下列矩阵的Smith标准型.21322(1);(2);2531222(1)000(1)0(3)00;(4)01.200(1)002【解】(1)对矩阵作初等变换，得322235A()2235322350323201030103B().B()即为所求.(2)对矩阵作初等变换得2211

2、A()11122222100100000220000B().B()即为所求.(3)不难看出，原矩阵的行列式因子为23DD1,(1),D(1).123所以不变因子为D2D32dd1,(1),d(1).123DD121100故所求的Smith标准形是0(1)0200(1)(4)对矩阵作初等变换，得0(1)00(1)0A

3、()0101002002101000(1)00(1)020000(2)1001000(1)0000(2)0(1)(2)010000B().00(1)(2)B()即为所求.2.求下列矩阵的不变因子.ab10200ba01(1)120;(2).00ab01200ba【解

4、】(1)显然，原矩阵中左下角的二阶子式为1，所以3D1=1,D2=1,D3=(2).故所求的不变因子为3d1=1,d2=1,d3=(2).(2)当b≠0时，abab222D4()ab,baba且在矩阵中右上角的三阶子式b10a012(ba),0ab而(,2()D4ba)1,所以D3=1.故所求的不变因子为222d1=d2=d3=1,d4=[(+a)+b].23.证明1000010000000001aaaaann

5、12n21的不变因子为nn1d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λ+a1λ+…+an-1λ+an.n-1【证明】由于该矩阵中右上角的n-1阶子式等于非零常数(-1),所以D1()=D2()=…=Dn-1()=1.而该矩阵的行列式为nn-1Dn()=+a1+…+an-1+an,故所给矩阵的全部不变因子为nn-1d1()=…=dn-1()=1,dn()=+a1+…+an-1+an.0000004.证明10与a0（a为任一非零实数）相似.00010a00【证明】记000000

6、AB10,a000010a003经计算得知，E-A与E-B的行列式因子均为D1=D2=1,D3=(-0),所以它们的不变因子3也相同，即为d1=d2=1,d3=(-0),故A与B相似.5.求下列复矩阵的若当标准型.120131616(1)020;(2)576.221687【解】设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得3112011(1)2EA020020221120100

7、1000200201101(1)(1)03(1)(1)2210010001(1)(1)01002000(1)(1)(2)于是A的全部初等因子为1,1,2.故A的若当标准形是100J010.002(2)设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得131616131616EA576576