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1、高等数学过关与提高下册第八章习题答案一、填空题1．解：积分区域为{(x,y)
2、0≤x≤2,x≤y≤2}={(x,y)
3、0≤y≤2,0≤x≤y}，故可交换积分次序计算如下：22−y22y−y22−y21−y221−41−4∫0dx∫xedy=∫0dy∫0edy=∫0yedy=−e=−(e−1)=(1−e)。20222．解：积分区域为2{(x,y)
4、0≤y≤1,y≤x≤2−y}22={(x,y)
5、0≤x≤1,0≤y≤x}∪{(x,y)
6、1≤x≤2,0≤y≤2−x}，故可交换积分次序如下：22212−y1x2
7、2−x∫0dy∫yf(x,y)dy=∫0dx∫0f(x,y)dy+∫1dx∫0f(x,y)dy。3．解：令x=rcosθ,y=sinθ，则12π22222∫∫[(x+1)+2y]dxdy=∫dr∫r[r+2rcosθ+1+rsinθ]dθ00D133ππ7π=∫(2πr+2πr+πr)dr=+π+=。024411134．解：∫∫min(x,y)dσ=∫0dx∫xxdy+∫0dy∫yydxD1111314=∫x(1−x)dx+∫y(3−y)dy=−+−=。0023233二、选择题1．解：选（B）。1当≤x
8、+y≤1时，有ln(x+y)≤0,0≤sin(x+y)≤x+y，故I≤I≤I，所以应选（B）。13222．解：选（C）。积分区域如图所示：yy=x2/222x+y=12/21x1π2211−y故∫4dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr=∫2dy∫f(x,y)dx，000y所以应选（C）。3．解：选（C）。积分区域D如图所示：y2y=xDO1x对等式两边在D上积分，考虑到∫∫f(u,v)dudv是常数，所以有D∫∫f(x,y)dxdy=∫∫xydxdy+∫∫f(u,v)dudv⋅∫∫dxdy，DDDD
9、若令I=∫∫f(x,y)dxdy，则I=∫∫xydxdy+I∫∫dxdy，DDDxydxdy1x2114∫∫dxxydy∫x⋅⋅xdx311ID∫0∫002=⋅====，21−dxdy1x12128∫∫1−∫dx∫dy1−D0031故f(x,y)=xy+，所以应选（C）。84．解：选（D）。可将积分区域分成两个对称的区域如下图：y=xyD2O1xD1-1y=-x122122122(x+y)(x+y)(x+y)∫∫[y(1+xe2)]dxdy=∫∫[y(1+xe2)]dxdy+∫∫[y(1+xe2)]dx
10、dyDD1D220−y022=∫∫ydxdy+0=2∫−1dy∫0ydx=2∫−1(−y)dy=−。3D1故应选（D）。5．解：选（D）。由区域D关于y=x对称可知af(x)af(x)+f(y)aa∫∫dσ=∫∫dσ=∫∫dσ=π，f(x)+f(y)2f(x)+f(y)22DDDbf(x)bf(x)+f(y)bb∫∫dσ=∫∫dσ=∫∫dσ=π，f(x)+f(y)2f(x)+f(y)22DDDaf(x)+bf(y)aba+b故∫∫dσ=π+π=π，所以应选（D）。f(x)+f(y)222D三、解答题1．
11、解：利用极坐标变换计算：22π221−x−y11−rπ111−r2π11−tπdxdy=2dθ⋅rdr=⋅dr=dt=(2ln2−1)∫∫1+x2+y2∫0∫01+r222∫01+r24∫01+t4D2．解：积分区域如图所示：y21-2-1Ox02π2sinθπ83∫∫ydxdy=∫−2dx∫0ydy−∫πdθ∫0r⋅rsinθdr=4−∫πsinθ⋅⋅sinθdθ3D228π1−cos2θ22π1+cos4θπ=4−∫π()dθ=4−∫π(1−2cos2θ+)dθ=4−。32322223．解：积分区域
12、可分成两个对称区域如下：3y3y=x1D1D21x3y=-x222222∫∫x[ycos(x+y)+1]dσ=∫∫x[ycos(x+y)+1]dσ+∫∫x[ycos(x+y)+1]dσDD1D231x2=0+∫∫xdσ=2∫0dx∫0xdy=。5D24．解：把D分为以下两个区域，这两个区域中被积函数定号：y22x+y-2y=01D12xD-D122x+y=4222222故∫∫
13、x+y−2y
14、dσ=∫∫
15、x+y−2y
16、dσ+∫∫
17、x+y−2y
18、dσDD1D−D12222=∫∫−(x+y−2y)dσ+∫∫(
19、x+y−2y)dσD1D−D1π2sinθπ22π2222=−∫0dθ∫0(r−2rsinθ)rdr+∫0dθ∫2sinθ(r−2rsinθ)rdr+∫πdθ∫0(r−2rsinθ)rdr4π4π16442π16=∫sinθdθ+∫(4−sinθ+sinθ)dθ+∫(4−sinθ)dθ30033π38π42π16=∫sinθdθ+∫(4−sinθ)dθ=9π。300345．解：画出积分区域如下：y22x+y-2y=01D1D22x22x+y
