高等数学过关与提高下册第九章习题答案.pdf

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1、高等数学过关与提高下册第九章习题答案一、填空题1．解：写出曲线的参数方程：x=cost,y=sintπ≤t≤2π，直接利用公式有2π222222∫(x+y)ds=∫(sint+cost)sint+costdt=π。Lπ2．解：利用格林公式有2442∂(xy+x)∂(y+yx)∫(y+yx)dx+(xy+x)dy=∫∫(−)dxdy∂x∂xLD3=∫∫(2xy+1−4y−x)dxdy（利用对称性）D=∫∫dxdy=πab（利用椭圆面积公式）D3．解：利用高斯公式及三重积分的球面坐标变换有333333∂(x)∂(y)∂(z)∫∫xdydz+ydzdx+zdx

2、dy=∫∫∫[++]dxdydz∂x∂y∂zΣΩ2222ππ122112=3∫∫∫(x+y+z)dxdydz=3∫0dθ∫0dϕ∫0r⋅rsinϕdr=6π⋅⋅2=π。55Ω∂u∂u∂uxyz4．解：gradu={,,}={,,}，222222222∂x∂y∂zx+y+zx+y+zx+y+zxyz∂∂∂222222222x+y+zx+y+zx+y+zdivgradu=(++)∂x∂y∂z22212x12y12z=−+−+−222222222222222222222x+y+z(x+y+z)x+y+z(x+y+z)x+y+z(x+y+z)22232(x+y+

3、z)321=−=−=。2222222222222222x+y+z(x+y+z)x+y+zx+y+zx+y+z二、选择题1．解：选（D）。x+ayy∂∂222(x+y)(x+y)a(x+y)−2(x+y)(x+ay)−2y(x+y)由题意知=，即=，44∂y∂x(x+y)(x+y)a(x+y)−2(x+ay)=−2y，(a−2)x+ay(−1)=−2y，故a=−2，所以应选（D）。2．解：选（C）。1根据《高等数学过关与提高》（下册）137页“关于曲面积分的对称性定理”即可得结论。3．解：选（A）。可知Σ在xoy平面上的投影为单位圆面，故/2/2yds=y

4、1+z+zdxdy=3ydxdy∫∫∫∫xy∫∫2222Σx+y≤1x+y≤1根据对称性可得∫∫yds=∫∫3ydxdy=0。故选（A）。22Σx+y≤14．解：选（B）。设题中所给立体上表面为Σ，下表面为Σ，侧面为Σ，则可知Σ在xoy平面的投影为半1231径为2，圆心在原点的圆面，Σ在xoy平面的投影为单位圆面，Σ在xoy平面的投影为单23位圆与半径为2，圆心在原点的圆所形成的圆环，故22z2x+yeeee∫∫22dxdy=∫∫22dxdy−∫∫22dxdy−∫∫22dxdyΣx+yx2+y2≤4x+yx2+y2≤1x+y1≤x2+y2≤4x+y2r2

5、π2e2π1e2π2e222=∫0dθ∫0⋅rdr−∫0dθ∫0⋅rdr−∫0dθ∫1⋅rdr=4πe−2πe−2π(e−e)=2πe。rrr故应选（B）。5．解：选（B）。根据格林公式可知应选（B）。三、计算证明题1．解：方法1在极坐标系下，曲线L:r=−2sinθ,根据直角坐标与极坐标的关系可得曲线L的参数方程:⎧xr==cosθ−sin2θ⎨2⎩yr==sinθ−2sinθ此时θ的变化范围为−≤≤πθπ0,()或≤≤θ2πθ,ds=2d.02224故∫x+yds=∫−sin2θ+4sinθ⋅2dθLπ00=2sinθθ⋅=−⋅=2dd2sinθθ2

6、8.∫∫−−ππ⎧x=cosθ方法2L:⎨.⎩y=−+1sinθ此时θ的变化范围是:02≤≤θπθ,.ds=d2π2π2222故∫x+yds=∫cosθ+(sinθ−1)dθ=2∫1−sinθdθL0022πθθ22πθθθ=2∫(sin−cos)dθ=22∫

7、sin−cos

8、d()0220222πππ=22∫

9、sint−cost

10、dt=4∫

11、sin(t−)

12、dt=8。0042/2方法3直接利用极坐标计算：L:r=−2sinθ，−π≤θ≤0，ds=r+rdθ=2dθ，0022则∫Lx+yds=∫−π−2sinθ⋅2dθ=−4∫−πsinθdθ=8。232

13、122212a2πa2．解：由对称性有∫xds=∫(x+y+z)ds=∫ads=⋅2πa=。3333LLL23．解：曲线L：y=2ax−x是以（a，0）为圆心，半径为a的圆弧在第一象限的部分，补曲线L1为从原点O（0，0）沿X轴到A（2a，0）的线段，则L+L1形成封闭曲线，设其所围平面区域为D，则根据格林公式有xxxx∂(ecosy−ax)∂[esiny−b(x+y)]∫[esiny−b(x+y)]dx+(ecosy−ax)dy=∫∫{−}dxdyL+L1∂x∂yDxxπ2，=∫∫(ecosy−a−ecosy+b)dxdy=∫∫(b−a)dxdy=(b

14、−a)a2DD2axx2又∫[esiny−b(x+y)]dx+(ecosy−ax