关于幂等矩阵的秩及相关命题的证明和推广.pdf

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1、第25卷第6期大学数学Vo1．25，№．62009年12月COIIEGEMATHEMATICSDec．2009关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广龚和林，舒情(上饶师范学院数学与计算机系，江西[摘要]给出秩命题“”阶方阵A为幂等矩阵等价于r(A)+r(E—A)””的五种证明，并推广其结论，从而刻画了几类矩阵的秩特征(见定理1—3)．[关键词]秩；幂等矩阵；矩阵多项式；Jordan标准形[中图分类号]O151．2[文献标识码]A[文章编号]l672—1454(2009)o6一Ol26一O51引言与引理本文约定P表示数域P上维列向量空间，P”表示数域P上m×／7维矩阵空间

2、，r(A)表示矩阵A的秩．矩阵的秩是矩阵的数量特征，初等变换下的不变量．关于幂等矩阵和对合矩阵，存在两个秩命题：命题1阶方阵A为幂等矩阵(A=A)当且仅当r(A)+r(E—A)一．命题2”阶方阵A为对合矩阵(A。一E)当且仅当r(E—A)+r(E+A)一．注意到A为对合矩阵当且仅当(E+A)为幂等矩阵，因而上述两个秩命题的证明具有统一性．本文利用分块矩阵乘法，线性方程组解空间维数公式，矩阵的满秩分解，等价标准形，Jordan标准形给出命题1的五种证明方法，并推广其结论，刻画了几类矩阵的秩特征(见定理1—3)．引理1任意矩阵A，B，C，则(i)r(A4-B)≤r(A)+

3、r(B)；cii，rcA+rcB=r(会：)≤min{r(：)，r(三)}．引理2(Schur公式)设P为数域，A∈P，B∈P一，c∈P一，DEP—一，且方阵A，D均可逆，则『一ErE0⋯1()『-EA一1B]B)'flE0r一E一]l(＼cBD)／『l一DEr．CE0]l吕)．引理3E利用Schur公式，证下列两论：(i)若方阵A，D均可逆，则，A曰、rf＼CD1／一r(A)4-r(O—cAB)一r(D)+r(A—BDc)(ii)若A，B，C，D均为阶方阵，且A，C可交换，则1lAB1IfC—lAD—cBI．Df[收稿日期]2007—0615第6期龚和林，等：关于幂

4、等矩阵秩的一个命题的证明和推广127引理4’3](Sylvester不等式)r(A)+r(B)一”≤r(AB)≤rain{r(A)，r(B)}，其中A∈P，B∈Pn．引理5设A∈P”，且r(A)一r，则存在列满秩矩阵L与行满秩矩阵H，，使A=LH．引理6l-4]n阶方阵A为幂等矩阵的充分必要条件为HL—E，其中A=LH为A的一个满秩分解，且r—r(A)．证必要性．A一ALHLH===LHL(HL—E)H—O．又L列满秩，H行满秩，矩阵经左乘行满秩矩阵(或右乘列满秩矩阵)后，其秩保持不变，则r(HL—E)：==rEL(HL-E)H]一0，这说明HL—E．充分性．由于A=

5、LH，则A一LHLH—L_EH=LH=A．2命题1的五种证明及推广2．1利用分块矩阵乘法EE)EA)()一(A20：)．由引理3(ii)，fIlA—EEAEfIl：={一El=(-1)o，l}{E—AEfl—IEl一1，一AEl即上式左右两端的分块矩阵均为可逆矩阵．再由引理1，得rf＼OE＼一r(A)+r(E—A)一r(E)+r(A—A)．—A／因此，A一A的充分必要条件为r(A)+r(E—A)一．进一步将命题1推广可得如下定理：定理1设A，B∈P，且AB=：=BA，A十B可逆，则AB=O充分必要条件是r(A)+r(B)一．证充分性．()((AB三B)．由引理3(ii

6、)，(曰一A)一I—A—Bl一一)”la+Bl≠0，则，A0、，A+BB、．r(A)+r(B)一rf＼oB＼／一rf＼0＼≥r(A+B)+r(AB)，一AB／即r(A)+r(B)≥+r(AB)．由已知条件r(AB)一0，从而AB=O．必要性．由充分性的证明得，r(A)+r(B)≥r(A+B)+r(AB)，即r(A)+r(B)≥．又AB一0，B的列向量均为齐次线性方程AX一0的解，则r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n(或由引理4Sylvester公式证明)，从而，r(A)+r(B)=．推论1．1设f(3c)，g(z)∈P[]，A∈P”，且厂(A)+g(A)

7、可逆，则-厂(A)g(A)一0的充分必要条件是rFf(a~]+rEg(A)]一．2．2利用齐次线性方程组解空间维数公式命题1的证明令W==={xIAX=0，x∈P}，W一{xl(E—A)X===0，xEP”)，V一{l(A—A)x===0，XEP}，则V∈W，Aa一0，则(A—A。)=0，即口EV，WV．同理可证，W2．从而，w1+w2．又VEV，A(E-A)y一(E—A)A一(A—A。)一0，(E—A)∈W1，Ay∈W2，显然，y一(E—A)y+Ay，则V=W+w2．若6∈wlnW，6一(E—A)6+A—0，从而，V—WloWz(直和)，dimV~