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《2006年全国高中数学联赛甘肃预赛试题及答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二ＯＯ六年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题参考答案及评分标准说明:1、评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设6分和0分两档;解答题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次.2、对于解答题,如果考生的解答方法与本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评阅时可参照本评分标准适当划分评分档次,5分为一个档次,不要再增加其它中间档次.一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1sin+x1.使关于x的不等式≥k有解的实数k的最大值是（D）2cos+x4334(Ａ)−，(Ｂ)−，(Ｃ)，(Ｄ).3443
2、1sin+x解:本题实质上是求fx()=的值域的上限.将f(x)看成是点Axx(cos,sin)和点B(2,1)−−确定2cos+x4的直线的斜率.而A在单位圆周上运动,当BA为圆的切线时斜率取最值.由此容易求得f=.故选D.max32.已知二次函数f(x)满足：f(1−x)=f(1+x)，−4≤f(1)≤−1，−1≤f(2)≤5，则f(3)的取值范围为（C）(Ａ)7≤f(3)≤26，(Ｂ)−4≤f(3)≤15，2825(Ｃ)−1≤f(3)≤32，(Ｄ)−≤f(3)≤.332解法一:设f()xa=++xbxc,则f(1)=abc++,f(2)=4
3、abc++2,f(0)=c.又f(x)的对称轴为x=1,所以f(2)=f(0),由此得20ab+=.于是f(1)=−+ac,f(2)=c.但f(3)=++=+9abcac33,故f(3)=−3(1)4(2)ff+,由题设中f(1),(2)f的范围知−1≤f(3)≤32.选C.解法二:f(x)的对称轴为x=1,所以f(2)=f(0).在x=0,1,2用插值公式得(xx−−1)(2)(xx−−0)(2)(xx−−0)(1)f()xf=++(0)ff(1)(2)(01)(02)−−(10)(12)−−(20)(21)−−故f(3)=−+=−fffff(
4、0)3(1)3(2)4(2)3(1).于是由题设知−1≤f(3)≤32.选C.3ππ⎧xx+−=sin2a03.已知xy,[,]∈−，aR∈且⎨，则cos(x+2)y值为（A）344⎩4syy+incosy+=a0-1-2(Ａ)1，(Ｂ)－1，(Ｃ)0，(Ｄ).23⎧xx+=sin2a3ππππ解:由题设得⎨.令f()tt=+sint,t∈−[,],则f()t是[,]−上的增3⎩(2)sin(2)2−+−=yya4422函数.于是由f()xfy=−(2)得x=−2y,即xy+20=.故cos(xy+2)=0,选A.22334.设ab和是互素的两个
5、自然数，则ab+和ab+的最大公约数为（C）(Ａ)1,(Ｂ)2,(Ｃ)1或2,(Ｄ)可能大于2.223322解:若取ab==2,3,则ab+=13,ab+=35.13与35互素.若取ab==3,5,则ab+和332233ab+都是偶数,它们有公因子2.现假设ab+和ab+有公因子4,则因33332ababababab+=+()()()+−+及a和b互素,必有2
6、(ab+).于是4
7、(ab+),而222()abab+=++2ab,由此得4
8、2ab,即2
9、ab,于是2
10、a或2
11、b,无论何种情况都推出(,)2ab≥,这和2233a与b互素矛盾.同样可得
12、ab+和ab+不会有大于2的素公因子.选C.5.在Oxy平面上，三角形顶点的坐标为(,)xy(1i=,2,3),其中x,y是整数且满足iiii1≤≤xn,1≤≤yn（n为整数）.这样的三角形的有516个，则n的值为（B）ii(Ａ)3，(Ｂ)4，(Ｃ)5，(Ｄ)6.解:首先容易计算,当n≥5时,三角形的个数均超过516,故只需考虑n<5的情况.此时所有的三点组有33C2个.其中不合题意的三点组为:水平方向或垂直方向共线的三点组共2nCn个,斜率为±1方向上共线的三n3333333333点组共有2(CCCnnn+++2−−122?+2C3)个.故Cn
13、2−2nCn−2(CCCnnn+++2−−122?+2C3)=516.33343334但CC34+++=?CCnn−1(),故Cn2−2nCn−24CCnn−=516.直接试得n=4.选B.22aa16x16y6.在∆ABC中,Ａ为动点，B(,−0)，Ca(,0)(0)>为定点且动点Ａ的轨迹方程是−=1的右2222a3a支(y≠0)，则∆ABC的三个角∠A，∠B，∠C满足（A）11(Ａ)sinC−sinB=sinA,(Ｂ)sinC−sinB=−sinA,221(Ｃ)sinC+sinB=sinA,(Ｄ)sinC−sinB=sinA.2-2-22xy
14、解:将轨迹方程写成−=1,由双曲线定义可知a23a()()244aa1AB−=AC2⋅==BC422由正弦定理,AB===2sin,RC
