河北省枣强县高三数学《53向量的数量积与应用》课件.ppt

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1、向量的数量积向量的数量积的概念【例1】设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题①(a·b)c－(c·a)b＝0；②

2、a

3、－

4、b

5、<

6、a－b

7、；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9

8、a

9、2－4

10、b

11、2.其中是真命题的有________．【解析】对于①，b与c是不共线的两个非零向量，且a·b与c·a不能都为零，故①错误．对于②，由三角形的两边之差小于第三边知②正确．对于③，由向量的数量积的运算法则，得[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以[(b·c)a－(c·a)b]⊥c，

12、故③错误．对于④，由于(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a2－4b2＝9

13、a

14、2－4

15、b

16、2，故④正确．答案：②④点评判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义．向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．【变式练习1】下列命题中正确的个数是________.①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c；④a·b＝b·a；⑤若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角．【解析】当a≠0时，由a·b＝0/b＝0，且

17、对任意与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0，故①错．(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a通常并不是共线的，故②错．设a与b的夹角为α，b与c的夹角为β，则由a·b＝b·c，得

18、a

19、cosα＝

20、c

21、cosβ/a＝c，故③错．由于向量数量积满足交换律，故④正确．向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角，可为[0°，180°]范围内的角，故⑤错．答案：1向量的夹角点评数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法．(1)题中通过垂直的充要条件，得到

22、a

23、＝

24、b

25、，这是本题的突破口．在等式2a·b＝b2中，不能“约去b”

26、，得出“2a＝b”，注意这一点与实数乘法不同．(2)题中，向量的夹角范围是[0，π]，并且注意a2＝

27、a

28、2及夹角公式的应用．同时，a与b的夹角是钝角，可以得到a·b<0，但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件．因为a与b的夹角是180°时也有a·b<0.因此第二问要排除掉a与b反向的情形．想一想：若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢？【变式练习2】已知a和b的夹角为60°，

29、a

30、＝10，

31、b

32、＝8，求：(1)

33、a＋b

34、；(2)a＋b与a的夹角θ的余弦值．向量的平行与垂直【例3】设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．

35、(1)若a⊥(b－2c)，求tan(α＋β)的值；(2)求

36、b＋c

37、的取值范围；(3)若tanαtanβ＝16，求证a∥b.【解析】(1)b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，a·(b－2c)＝4cosα(sinβ－2cosβ)＋sinα(4cosβ＋8sinβ)＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.所以tan(α＋β)＝2.点评向量的平行与垂直问题是高考的热门话题，要牢记向量平行与垂直的充要条件，根据已知条件灵活运用．平面向量综合应用点评本例是向量、函数、导数应用的典型例子．第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常见方法：方法1是先利用向量的坐标

38、运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；方法2是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)．第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用．能力训练能力训练[例7]求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．点评：待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决．本例中a2＋b2，c2＋d2与向量的模有联系，而ac＋bd与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示．【例8】如图，用两根绳子

39、把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量)．点评利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题，也为数学应用于实际开辟了新的途径．1．两向量的夹角：如图，∠AOB＝θ(0≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b.2．向量的数量积的几何意义：对于a·b＝

40、a

41、·

42、b

43、cosθ，其中

44、b

45、cosθ叫向量b在a方向上的