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1、学科网之数学直通车----立体几何知识体系第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图基础梳理1.多面体(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台.2.旋转体(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋
2、转形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥.(3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.3.三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方.(3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法：①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,
3、两轴相交于O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),用它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.典例分析题型一空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;(3)一
4、个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.分析要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.解(1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱.(2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB
5、,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1图2图3学后反思对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.举一反三1.如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征.解析：如图所示，过A、B分别作⊥CD，⊥CD，垂足分别为、，则Rt△绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥，直角梯形绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆台，Rt△绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥.综上可知，旋转所得的几何体
6、下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥.【例2】下列三个命题，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个B.1个C.2个D.3个题型二基本概念与性质分析利用棱台的定义和特殊几何体加以说明.解①中的平面不一定平行于底面，故①错；如图，四条侧棱不一定交于一点，故②③错，答案选A.学后反思在开始学习立体几何时，要学会观察、分析并记住一些特殊的物体或图形，以便于我们做题
7、.反例推证是一种重要的数学方法，望大家熟练掌握.举一反三2.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题的编号是.解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故①假;对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真;对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱,如图1,故③假;对于④,四棱柱一
8、个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一对角线,故侧棱垂直于底面,故④真,如图2.答案:②④题型三柱、锥、台中的计算问题【例3】正四棱台的高是17cm,两底面边长
