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1、学科网之数学直通车--基本初等函数（I）知识体系第一节一次函数、二次函数基础梳理1.一次函数的性质与图象(1)函数叫做一次函数.它的定义域为R,值域为R.(2)一次函数具有如下一些主要性质:①函数值的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k;②当k>0时,一次函数是;当k<0时,一次函数是;③当b=0时,一次函数变为函数,是奇函数;当b≠0时,它既不是,又不是;④直线y=kx+b与x轴的交点为,与y轴的交点为y=kx+b(k≠0)增函数减函数正比例奇函数偶函数(0,b)2.二次函数的性质与图象(1)函数叫做二次函数,它的定义域是(2
2、)二次函数有如下性质:①函数的图象是,抛物线顶点的坐标是,抛物线的对称轴是;②当a>0时,抛物线开口向上,函数在处取;在区间上是减函数,在上是增函数;③当a<0时,抛物线开口,函数在处取最大值;在区间上是增函数,在上是减函数;④与y轴的交点是⑤当Δ=b2-4ac>0时,与x轴两交点的横坐标分别是方程a的的两根;当Δ=0时,与x轴切于一点;当Δ<0时,与x轴;⑥当b≠0时,是非奇非偶函数；当b=0时,是;⑦对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线对称.R.一条抛物线最小值向下(
3、0,c)没有交点偶函数x=a3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系判别式二次函数的图像一元二次方程的根有两相异实根（）有两相等实数根没有实数根的解集的解集4.二次函数在闭区间上的最值问题y=f(x)=a+k(a>0)在[m,n]上的最值问题.(1)h∈[m,n]时,=k,=max{f(m),f(n)}；(2)h[m,n]时,当hn时,f(x)在[m,n]上单调递减,=,=.递增f(m)f(m)f(n)f(n)典例分析题型一一次函数性质的应用【例1】一次函数y=(m+
4、2)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点在x轴的下方,求实数m的取值范围.分析当k>0时，y=kx+b(k≠0)为增函数,其图象与y轴的交点为(0,b).解∵y=(m+2)x+2m-1是增函数,∴m+2>0.①又∵函数y=(m+2)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下方,∴2m-1<0.②由①、②解得-20时,函数图象是上升的;k<0时,函数图象是下降的.b反映了函数图象与y轴交点的位置,b>0时,交于x轴上方;b=0时,交于原点;b<0时,交
5、于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.举一反三1.已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时：(1)这个函数为一次函数?(2)函数值y随x的增大而减小?(3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上?解析:(1)当m≠时,这个函数为一次函数.(2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m<时,y随x的增大而减小.(3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0),将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0,∴m=.题型二确定二次函数的解析式【例2】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相
6、同，开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点，写出函数f(x)的解析式.(1)函数g(x)=,f(x)图象的顶点是(4,-7).(2)函数g(x)=-2,f(x)图象的顶点是(-3,2).分析题中给出了顶点坐标，可用顶点式设出二次函数，再由g(x)确定a的值.解如果二次函数的图象与y=a的图象开口大小、方向都相同，设顶点坐标为(h,k),则其解析式为y=a+k.(1)因为f(x)与g(x)=的图象开口大小、方向都相同，f(x)的图象的顶点是（4，-7），所以f(x)=-7=-8x+9.(2)因为f(x)与g(x
7、)=-2的图象开口大小、方向都相同,f(x)图象的顶点是(-3,2)，所以f(x)=-2+2=-2-12x-16.学后反思（1）要求函数的解析式，由于已知函数的类型为二次函数，从而可设y=a+bx+c(a≠0)，根据已知条件列方程组求出参数a、b、c即可.(2)二次函数的解析式有三种形式:①一般式:y=a+bx+c(a、b、c为常数，a≠0);②顶点式:y=a+k(a、h、k为常数，a≠0);③两根式:y=(a、为常数，a≠0).（3）要确定二次函数的解析式就是确定解析式中的待定系数（常数），由于每种形式中都含有三个待定系数，所以
8、需要三个独立条件，这要求深刻挖掘已知条件.2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.解方法一:利用二次函数一般式.设f(x)=a+bx+c(a≠0).由题意得,解得∴所求二次函数为y=-
