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1、第8节 立体几何中的向量方法(对应学生用书第112～113页)1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有无数个，且它们是共线向量．质疑探究1：求平面法向量的一般步骤是什么？2．利用空间向量证明空间中的位置关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔
2、a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.3．利用向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则质疑探究2：两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(B)(A)l1∥l2(B)l1⊥l2(C)l1与l2相交但不垂直(D)以上均不正确解析：由于
3、a·b＝2×(－6)＋4×9－4×6＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2，故选B.2．下列命题中，正确命题的个数为(D)①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．(A)1(B)2(C)3(D)4解析：由平面的法向量与平面间的位置关系可知四个命题均正确．故选D.3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(C)(
4、A)45°(B)135°(C)45°或135°(D)90°4．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________________________________________________________________________(对应学生用书第113～114页)利用空间向量证明平行、垂直问题【例1】在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE∥平面C1E1F；(
5、2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.(1)利用向量法证明空间的平行或垂直问题，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上．(2)用向量法证线面平行还可以使用证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法．利用空间向量求空间角求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的法向量的夹角(或夹角的补
6、角)，在具体求解中应适当选取或求解直线的方向向量及平面的法向量．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面的法向量．变式探究21：(2010年高考辽宁卷)已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．利用空间向量求距离思路点拨：注意到平面SAC⊥平面ABC，且SA＝SC，AB＝BC，可取AC中点为坐标原点O，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解
7、．【选题明细表】知识点、方法题号平行与垂直1、3、7、9空间角2、4、5、8、9空间距离6、8、9一、选择题2．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(B)(A)4(B)2(C)3(D)1二、填空题6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中利用动点轨迹的方法，可以求出过点A(2，1)且法向量n＝(－1,2)的直线(点法式)方程为－(x－2)＋2(y－1)＝0，化简得x－2y＝0，类比以上求法在空间直角坐标系中，经
8、过点A(3，－1,3)且法向量为n＝(1，－2,1)的平面(点法式)方程为________．(请写出化简后的结果)解析：设P(x，y，z)是平面内的任意一点，则PA―→⊥n，∴PA―→·n＝(3－x，－1－y,3－z)·(1，－2,1
