角的问题之一——角的证明.pdf

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1、2中等数学●数学活动课程讲座●角的问题之一———角的证明黄全福(安徽省怀宁县江镇中学,246142)(本讲适合初中)BF,联结PA′、PB′、AB′、BA′.易得综观近几年国内外各类数学竞赛,涉及PA′=PA,PB′=PB,角的问题常有出现.这主要表现在两个方面:且A′B=2DE=2DF=AB′.(1)角的证明;从而,△PA′B≌△PAB′.(2)角的计算.于是,∠A′PB=∠APB′.本文侧重讨论角的证明.其主要内容有:所以,∠A′PA=∠B′PB.(1)证明角的相等;易知△PAA′∽△PBB′.(2)证明角的互补;因此,∠PAA′=∠PBB′,即(3)证明角的和、差

2、、倍、分的等量关系.∠PAE=∠PBF.至于角的不等关系,限于篇幅,这里不打评注:凡出现有中点的题目,要么将三角算涉及.形某一部分绕着中点旋转180°,要么取另一角的证明与计算,通常要用到以下知识:边中点,构造三角形的中位线.这是两种比较(1)三角形(或多边形)的内角和定理;有效的变换技巧.(2)全等三角形、相似三角形的性质定【思考】若取PA、PB的中点为M、N,联理;结DM、DN、EM、FN,你能证明∠PAE=(3)四点共圆知识(四点一旦共圆,与圆∠PBF吗?有关的角的定理立刻就有了用武之地);例2　在凸四边形ABCD中,P在(4)三角形的“四心”性质,尤其是外心、△

3、BCD内部.已知∠PBC=∠ABD,∠PDC=内心、垂心对于一边的张角公式等.∠ADB.求证:∠APD与∠BPC互补.下面举例说明.讲解:如图2,例1　在△ABC中,D为AB的中点,点在CD上取点G,使E、F分别在射线CA、CB上,且DE=DF,过∠PGD=∠ABD,点E、F分别作CA、CB的垂线得交点P.求联结AG、BG、PG.证:∠PAE=∠PBF.易知△PGD∽(2003,全国初△ABD,从而,可证中数学联赛)△APD∽△BGD.讲解图2:如图1,所以,∠APD在CA、CB上各取=∠BGD.一点A′、B′,使得又∠PGD=∠ABD=∠PBC,所以,P、A′E=AE

4、,B′F=图1B、C、G四点共圆.　　收稿日期:2006-09-07　修回日期:2006-11-13故∠BPC=∠BGC.2007年第2期3此时,∠APD+∠BPC例4　在锐角△ABC中,AB为大边、AC=∠BGD+∠BGC=180°.为小边,O为外心、H为垂心.证明:评注:点G在CD上的位置可在边CD∠OAH=∠C-∠B.上(点G在C、D两点之间)或与点C重合或讲解:如图4,作在DC的延长线上.不论属于哪种情况,本例高AD,垂心H在AD结论都成立.上,作OM⊥AB于点例3　在△ABC中,O为内心,点E、FM.由三角形外心性质都在大边BC上.已知BF=BA,CE=CA.

5、求知∠AOM=∠C,所以,图4证:∠EOF=∠B+∠C.∠OAM=∠CAD.讲解:辅助故∠OAH=∠BAC-(∠OAM+∠CAD)线如图3所示.=∠BAC-2∠CAD由已知易得=∠BAC-2(90°-∠C)△BOA=∠BAC+2∠C-(∠BAC+∠B+∠C)≌△BOF.=∠C-∠B.图3　　从而,OA=OF.评注:由AB>BC>AC,还可得到由已知易得∠OBH=∠C-∠BAC,△COA≌△COE.∠OCH=∠BAC-∠B.从而,OA=OE.此时,∠OBH+∠OCH故OA=OE=OF.=(∠C-∠BAC)+(∠BAC-∠B)因此,点O是△AEF的外心.=∠C-∠B=∠OA

6、H.由三角形外心性质知这是锐角三角形的外心、垂心关于角的∠EOF=2∠EAF.①一个有用的关系式.又BF=BA,CE=CA,则例5　在÷ABCD中,∠BAD的平分线交1∠AFB=90°-∠ABC,BC、DC于点F、E,O是△CEF的外心.求2证:∠ABC=2∠OBD.1∠AEC=90°-∠ACB.2(2006,全国初中数学联赛)此时,∠EAF=180°-(∠AEF+∠AFE)讲解:如图5,联=180°-(∠AEC+∠AFB)结OF、OC、OD.易知1AB=BF,CE=CF.则=(∠ABC+∠ACB).②2等腰△CEF底边EF比较式①、②,立得的中垂线必通过外心∠EOF=

7、∠ABC+∠ACB.图5O、顶点C.此时,【思考】由三角形内心性质和等腰三角形∠OCE=∠OCF=∠OFC.1性质,易知∠AOB=90°+∠ACB=∠AEB,所以,∠OCD=∠OFB.2又OC=OF,DC=AB=BF,则得到A、B、E、O四点共圆;类似地,A、C、F、△ODC≌△OBF.O四点也共圆.利用两组四点共圆,你能证于是,∠ODC=∠OBF=∠OBC.明∠EOF=∠ABC+∠ACB吗?4中等数学从而,O、C、D、B四点共圆.证题中颇有用处.有∠OBD=∠OCE.【思考】不论△ABC形状如何,点P只要故∠ABC=∠ECF满足条件,∠