一类非线性方程近似解的改进Newton法.pdf

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1、北京石油化工学院学报第21卷第3期Vo1．21NO．3JournalofBeijingInstituteof2013年9月Sep．2013Petro—chemicalTechnology一类非线性方程近似解的改进Newton法游煦(北京石油化工学院数理系，北京102617)摘要：对具有任意阶导数的函数在一组线性无关的函数组下进行Taylor展开，取展开式的前2项作近似，给出在不同基函数时的改进牛顿法迭代公式，并对误差进行了分析。最后利用Matlab对一些非线性方程的近似解进行计算，并与其他算法的结果相比较。

2、结果表明，该方法有明显优势，特别是在初始值远离近似解时收敛速度更快。关键词：非线性方程；近似解；改进Newton法；Taylor展开；Cauchy定理中图分类号：0221文献标志码：A在实际应用中，常常需要求非线性方程厂(z)一ao+al(g(z)一g(x。))+以2(g()一厂(z)一0(1)g(xo))+a3(g(z)一g(x0))。+⋯(3)的解。Newton切线法的基本思想是构造一其中g(z)在—z。处有任意阶的导数。收敛数列{}，使得limx一，其中在式(3)中令z—。，得a。一／’(。)，对式(

3、3)两边同时求导得Xo=af(z)一alg()+2a2(g()一Xn一r_一州_一1'2，⋯．·(2)g(xo))g(z)4-3a3(g()一当充分大时，可以把作为的近似g(x))g()4-⋯值，即方程(1)的近似解。从几何上看，上述迭即代公式有明显的几何意义，即每1次迭代的结_，()=g()(口1+2a2(g()果实际上是曲线y一-厂()在点(，-厂())处g(x。))+3a3(g(z)一g(x。))+·_．)(4)的切线与轴的交点，因此也称为切线法。在式(4)中，令z一，得al一，近年来，在文献[2，3

4、，7]中，对求近似解g■o的收敛速度进行了研究并得出了一些结论。在再对式(4)两边同时求导，得()一(z)(d+2a2(g()一g(x。))+文献[1]中，利用Taylor公式改进算法时，提3a3(g()一g(x0))。+⋯)+g(丁)×供了一个全新的思路，下面在此基础上进行进一步的研究。(21n2g()+31a3(g()一g(x))g()+⋯)(5)1迭代公式的构造在式(5)中，令=z。，得(z。)f(。)(z。)设，、()为任一非线性函数且在．72一z。处一一’有任意阶导数，将其在一组线性无关的函数组以

5、此类推，可以确定式(3)eF的所有系数，1，g()一g(x。)，(g()一g(x。))。，⋯下展开有代入式(3)即有厂()：(z。)4-(g()一g(Xo))+收稿日期：2O121205基金项目：北京石油化工学院青年基金资助项目，项目号：N201116作者简介：游煦(1979一)，男，硕士，讲师，研究方向：学习理(＼2g(zo)一2g(。))一一一论，Email：youxu@bipt．edu．cn。g(z))。4-⋯(6)第3期游煦．一类非线性方程近似解的改进Newton63——取式(6)中的前2项来近似f

6、(z)⋯=gg(一))一)≈n)+(0))，记H(z)一f(xo)+(0))，z计一．z1-k：{三)，=。，，2⋯。则H(z)要满足如下条件：(13)(1)情形二：若g(z)一忌，由条件(10)有H(x0)一f(xo)；(7)(2)(z)一籍g(z)一是z，g'(xo)一gb，t(8)即(3)忌一e，(14)(z。)一厂(。)。(9)由式(11)可得式(7)、式(8)显然成立。若式(9)成立，则有可(g))一而if(Xo)一gl。(10)，(zo)(z0)。n(是)，考虑方程(3)，将左边的非线性函数用H

7、(z)近即似则有f(x)≈一肌)+(一+n(忌)一妇g(xo))一0，时n(一)，)一。)一f(xo)，即m3误差分析z—gg(-g'()。用H(z)近似f(z)的过程中产生的误因此，得到改进牛顿法的一般迭代公式为差为R(z)一，()一H(z)一a2(g(z)一g(()，g(x。))+a。(g(z)一g(x。))。+⋯(16)一0，1，2，⋯。(11)当z—z。时贝0有R(z)一0(g(z)-g(xo))。特别地，如果g(z)一，那么等式(11)就是经典注意到R(。)一0，根据Cauchy中值定的牛顿公式。

8、理有R(z)尺(z)一R(z0)R()2函数g(x)的选取一g()一g(xo)g(x)一g(xo)g()在迭代式(11)中，函数g(z)的选取很关(17)键，因为要确保他能逼近任意的函数。所以在其中介于z和z。之间，因此误差R(z)一这里选取具有任意阶导数的幂函数和指数函数来讨论。鬻(g(x)-g()。情形一：若g(z)一，由条件(10)有4数值计算一一，／(z)g(z)是z例1用牛顿法、割线法和改进牛顿法分即别