关于半群作用是spatiotemporal混沌的几点注记.pdf

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1、北京石油化工学院学报第19卷第1期Vo1．19NO．1Journa1ofBeijingInstituteof2011年3月Mar．2O11Petro～chemicalTechnology关于半群作用是spatiotemporal混沌的几点注记*阎欣华任蕴丽。(1．北京石油化工学院数理系，北京102617；2．河北科技师范学院数理系，秦皇岛066004)摘要混沌理沦是动力系统研究的重要课题之一，目前有关一个系统是混沌的定义已有多种，系统在何条件下出现何种混沌是混沌理论研究的一个重要方面。利用Ij—Yorke点对，给出了半群作用的spatiotemporal昆沌的定义，

2、借助于族以及拓扑等相关知识，讨论混合性、2一剐性和spatiotemporal混沌之间的关系。证明了若(X，丁)是拓扑弱混合的且丁是交换半群，则系统(X，丁)是ST混沌的。关键词拓扑半群；spatiotemporal混沌；弱混合；2-刚性中图法分类号()193则称7【为丁在x上的右作用；若丁含有单位1预备知识及其定义元时，则还要求—(V∈X)；如果X为紧混沌揭示的是系统的不可预测性和复杂度量空间，且为T在x上的连续右作用，则性。1975年，李天岩和Yorke给出了混沌的第称(X，T，)为半动力系统，简记为(X，)。一个数学定义。1989年，Devaney以初值敏定义

3、2对，∈X，如果存在T中的网感性为核心定义丫另一类重要的混沌。目前{t}，使得lim一limyt，则称点对(，)邻关于一个系统是混沌的数学定义已有多种，近1近；记△一{(，)∈x×x1d(z，)<÷}。若年来，Blanchard等人结合LiYorke混沌和，lDevaney混沌给出了spatioten1poral混沌(以对任意的∈N，存在紧子集FCT使得(xt，下简记为ST混沌)的定义一，随后，Kolyada等yt)∈△对任意的f∈T＼F成立，则称点对(，人对ST}昆沌进行了研究，给出了连续映射)渐近；如果(，)是邻近的而非渐近的点对，是ST混沌的充分条件。笔者将针

4、对一般半群贝0称(，)是Ii—Yorker对。作用，讨论了混合性、2一刚性和ST混沌之问的定义3若(X，丁)是拓扑遍历的，且对任关系。意∈X及JT的任意邻域U，存在Y∈U，使得设(X，T)是半动力系统，其中X是紧度量(，)是IiYorke对，则称(X，丁)是ST混空问，T为拓扑半群，E为T的包络半群。沌的。定义1设X为拓扑空问，T为拓扑半群．定义4如果存在点∈X有稠密的轨若映射道，即．rT=X，则称(x，T)是拓扑传递的；如果丁r：X×T—对任意的非空开集u，(二二／Y，有D(U，)≠(，f)I—(其中D(U，)一{t∈l、jun≠})，则称满足(X，T)是拓扑遍历

5、的；如果(X×X，T)是拓扑(xt)5一’(ts)，V∈X，Vf，s∈，f遍历的，则称(X，丁)是拓扑弱混合的；如果对任意的非空开集U，VCX，存在丁的紧子集K收稿日期：201O-09珀*北京市属高等学校人才强教深化计划资助项目，项目满足了、＼KD(U，V)，则称(X，T)是拓扑强混号：PHR201008363。合的第1期阎欣华等．关于半群作用是spatiotemporal混沌的几点注记59定义5对z∈X，若{D(，U)：L，是Iz的定理1设(X，T)是拓扑强混合的，T是任意邻域}中的任何元素都不能包含在丁的紧拓扑半群且＼T≠，则(X，)是ST混沌的。子集中，称是(

6、x，T)的回复点；若对任意z∈证明任取．27∈X，对声∈E＼T，存在T中X，点都是(，r厂)的回复点，则称(X，丁)是逐的无限网{t)使得{t)收敛于P。令{f。)收敛点回复的；若(X×X，T)是逐点回复的，则称1于点。用表示以Y为中心，÷为半径的开(X，丁)是2一刚性的。K有关记号如下：球。设U是X的任意非空开集。由(X，丁)是记PR一{(，)∈x×XJ，Y邻近)。强混合得知，存在紧子集K(==T，使得对任意PR()一{∈X【(，Y)∈PR)，对任意t∈T＼K有tED(U，V)。此时K仅包含z∈X。{t。}中的有限个点(否则，设{t。}{t。)为包含AR一{(T，

7、．y)∈X×Xl，渐近}。于K的无限子网，则{t。}有子网收敛于p∈KAR()一{Exl(，．y)∈AR}，对任意与T矛盾)。因此存在t。，∈{t。}满足t∈z∈xD(U，V)，于是存在非空开集UU，使得Ut，c。类似讨论可知，存在tE{t。}(其2主要结果及其证明中。≠a)满足t∈D(U，V：)，于是存在U(二=首先看一些必要的引理。【，，使得U。t。(==V。由归纳假设可知，存在引理1令A一n∈nK(丁c，×丌，)一(△)，{t。}的子网{t。}以及非空开集序列{U}(==U，则使得UtCV对任意”∈N成立。设∈n“∈NAR=n1(UK∈rA)，U，则zt。