概述线性定常系统的能控性线性定常系统的能观测性对偶性原.ppt

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1、概述线性定常系统的能控性线性定常系统的能观测性对偶性原理系统的能控标准形和能观测标准形结构分解传递函数实现第四章控制系统的能控性和能观性(1)能控性控制作用u(t)对被控系统状态x(t)进行控制的可能性。(2)能观测性由系统输出量测值y(t)确定系统状态x(t)的可能性。4.1线性系统能控性和能观测性的概述一、状态能控性若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么就称系统在[t0，tf]时间间隔内是状态完全能控的，简称系统是能控的。线性定常系统存在一个分段连续输入信号u(t)，能在有限时间区间[t0，tf]内，使系统的某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的

2、。说明：线性定常系统可以假设t0=0，初始状态为x(0)，任意终端状态为零状态，即x(tf)=0；反之亦可。若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用u(t)，则称系统是可达的。对线性定常系统，可控与可达是可逆的。控制作用u(t)无约束，取值非唯一。方法二：直接根据状态方程的A阵和B阵方法一：转化为约旦标准形，再根据判断一、状态能控性判据方法三：传递函数4.2线性定常系统的能控性方法一：（1）设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件是系统经线性变换后的对角线矩阵中,不包含元素全为零的行。证明：系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。由

3、前章可知，系统(A，B)和(，)之间做线性非奇异变换时有：P是非奇异阵其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B)状态完全能控的充要条件。将对角标准形的每一行写成如下展开形式显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，(i=1，2，…，n)能控的充要条件是下列元素不同时为零。(1)例：考察下列系统的状态能控性。(2)(3)（2）若线性连续系统(A，B)有相重的特征值,则其状态完全能控的充要条件是：系统经线性变换后的约旦矩阵输入矩阵中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零；输入矩阵中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。例：考察下列各系统的状态能控性。(1)(2

4、)方法二：线性定常连续系统(A，B),其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：rankQc=nQc=[BABA2B…An1B]证明已知状态方程的解为设初始时刻为零，即t0=0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf)=0。则有利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理因tf是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出0，1，…，n1。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即rank[BABA2B…An1B]=n例：设系统的状态方程为判断其状态能控性。解：Qc=[BABA2B]=2111

5、11322222所以系统状态不完全能控。544444方法三：单输入系统中，间的传递函数阵为状态完全能控的充分必要条件是没有零点和极点重合否则，被消的极点就是不能控的，系统也为不能控系统。例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？例：判断线性连续系统能控性？解：线性定常系统能控性判据小结：①rankQc=rank[BAB…An1B]=n②当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。③单输入系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。④Σ(A，B

6、)为能控标准形。二、线性定常系统的输出能控性定义：对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔[t0，tf]内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf)，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的。定理：线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即rankQ=rank[CBCAB…CAn-1BD]=m∫∫++u(t)x1(t)x2(t)y(t)x1(t)x2(t)例：设某一系统，其方块图如下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。解：描述系统的状态空间表达式为rankQc=rank[BA

7、B]=1100rankQ=rank[CBCABD]=[200]∴输出是完全能控的。系统的状态能控性与输出能控性是不等价的。∴状态是不完全能控的。4.3线性系统的能观测性一、状态能观测性定义对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf>t0，能够根据输出量y(t)在[t0，tf]内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是能观测的。若系统的每个状态都能观测，则称系统是状态完全能观