线性系统的能控性与能观测性

《线性系统的能控性与能观测性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章线性控制系统的能控性与能观测性分析3.1线性连续系统的能控性3.2线性连续系统的能观测性3.3对偶原理3.5线性系统的结构分解3.6线性连续系统的实现3.7传递函数与能控性及能观测性之间的关系3.4线性离散系统的能控性和能观测性系统状态每一个状态变量运动都可由输入u(t)来影响和控制，而由任意的始点达到原点——状态能控。对能控性和能观测性的直观讨论状态的任意形式的运动均可由输出完全反映——状态能观测。能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代

2、初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。3.1.1概述3.1线性连续系统的能控性能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。[例3.1]给定系统的描述为将其表为标量方程组形式，

3、有：分析：X1、X2受控于UY与X1无关Y与X2有关[例3.2]：判断下列电路的能控和能观测性左上图：输入u（t），状态x（t），输出y（t）。右上图：输入u（t），状态x1（t），x2（t）。左图：输入u（t），状态x1（t），x2（t），输出y（t）。3.1.2能控性的定义线性时变系统的状态空间描述：其中：X为n维状态向量；U为m维输入向量；J为时间t的定义区间；A为n*n的元为t的连续函数的矩阵；B为n*m的元为t的连续函数的矩阵。定义1：对线性时变系统，如果对取定初始时刻的一个非零初始状态，存在一个时刻，，和一个无约束的的容许控制，，使状态

4、由转移到时，则称此在时刻是能控的。定义2：对线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统在时刻t0是能控的。定义3：对上述线性时变系统，取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不能控的，则称系统在时刻是不完全能控的。定义的几点解释：(1)对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；(2)容许控制的分量幅值不加限制，且在上平方可积；(3)线性定常系统的能控性与无关；(4)如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状态，则称为系统的能达性。(5)系统不完全能控为一种“奇异”情况。3.1.3定

5、常系统状态能控性判据考虑线性连续时间系统Σ(A,B,C,D)：(3.2）其中如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.2）描述的系统在时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。且初始条件为。1.格拉姆矩阵判据定理1：[格拉姆矩阵判据]线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件是，存在，使如下定义的格拉姆矩阵(3.3)非奇异。[证明]：充分性：已知非奇异，欲证系统完全能控。采用构造法证明，构造的控制量为在作用下容易解得：充分性得证。必要性：已知系统为完全能控，

6、欲证非奇异。反证法。反设为奇异，也即反设存在某个非零，使成立要使上式成立，应有另一方面，因系统完全能控，对非零又成立由此进而有由此得出这表明，的假设是和系统完全能控相矛盾。因此，反设不成立，即为非奇异。必要性得证。又定理2：[代数判据]线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件为(3.3)其中，n为矩阵A的维数。(3.4)称为系统的能控性判别阵。2.代数判据[证明]:充分性：已知，欲证系统为完全能控。反证法。反设系统不完全能控，则格拉姆矩阵奇异。这意味着存在某个非零向量使成立由此可得，现将上式求导直至次，再在所得结果中令，那么可得到：进而，表上

7、式为必要性：已知系统完全能控，欲证反证法。反设,这意味着行线性相关，因此必存在一个非零维常向量，使成立考虑到问题的一般性，由上式进一步得到再据凯莱－哈密顿定理，,均可表示为I，A，A2,…,An-1的线性组合，由此得到由于，所以上式意味着为行线性相关。当为行线性无关时系统为完全能控。充分性得证这样表明为奇异，系统不完全能控，与已知条件矛盾，反设不成立。于是,必要性得证。[例3.2]考虑由下式确定的系统：即QC为非奇异，因此系统是状态能控的。[例3.3]考虑由下式确定的系统：即QC为非奇异，因此系统是状态能控的。3PBH判据(由Popov和Belev

8、itch提出,Hautus指出其广泛可应用性。因此以他们姓氏首字母而得名)[解]对于该系统，[定理3](3.2)系统为完全