《次型及其标准形》PPT课件.ppt

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1、第一节实二次型及其标准形线性代数一、二次型及其标准形的概念称为二次型.先看书上实例1.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示解例１见书上例2、例3.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.设三、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得为对角矩阵。注意等价、相似和合同的区别。定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使得，则称A与B合同，记为方阵合同的性质：（1

2、）反身性（2）对称性若，则（3）传递性若，则说明：两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等价。反之都不成立。等价的方阵未必相似，也未必合同。两个正交相似的方阵必正交合同。反之，两个正交合同的方阵也必正交相似。因此，两个方阵正交相似与正交合同是一回事。然而，两个同阶方阵既相似又合同时，它们未必是正交相似的，也未必正交合同。用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为解例3用配

3、方法化二次型为标准形1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为见书上例6、例7.四、二次型的规范形前面我们介绍了两种将二次型变换成标准形的方法，不管是通过哪一种方法得到的标准形，都可以进一步化简。见书上

4、例8.定义：所有平方项的系数均为1，-1或0的标准二次型称为规范二次型。定义：规范形中的k称为二次型（或对称矩阵A）的正惯性指数，称r-k为二次型（或对称矩阵A）的负惯性指数，称为它们的符号差.定理：对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数。证明见书上P171.看书上例9.五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．2.实二次型的化简，并不局

5、限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换，如配方法．化为标准型，并指出表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题思考题解答结束