概率统计方法模型(下).pdf

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1、第6章概率统计方法模型§6.4非线性回归模型非线性回归模型按变量个数也可以分为一元非线性回归模型和多元非线性回归模型。曲线的形式也因实际情况不同而有多种形式，如指数曲线、双曲线、S形曲线等。下面我们列出几类典型的非线性回归模型的函数形式：（1）双曲线模型：1yu（6.4.1）ii12xi（2）多项式模型：2nyxxxu（6.4.2）ii123inii（3）对数模型：yxlnu（6.4.3）ii12i（4）三角函数模型：yxsinu（6.4.4）ii12i（5）指数模型：yabuxi（6.4.5）iiye01x

2、12iixu2i（6.4.6）i（6）幂函数模型：byaxu（6.4.7）iii我们将上述非线性回归模型分为两类来处理：第一类：直接换元型。这类非线性回归模型通过简单的变量代换可直接转化为线性回归模型，如式（6.4.1）、式（6.4.2）、式（6.4.3）和式（6.4.4）。第二类：间接代换型。这类非线性回归模型通过对数变形代换可间接地转化为线性回归模型，如：式（6.4.5）、式（6.46）和式（6.4.7）。对于式（6.1.1）、式（6.1.2）、式（6.1.3）和式（6.1.4）所示的非线性回归模型，虽然包含有非线性变量，但因变量与待估计系数之间的关系却是线

3、性的。对于此类模型，可以直接通过变量代换将其化为线性模型，具体代换方法见表6.4.1。表6.4.1变量代换表原模型模型代换代换后模型参数估计11一元线性回yuii12xiyii12xuixixi归OLS法多元线性回nkyxxuxxyxxxuii12niiikiiii1122nini归OLS法一元线性回yxii12lnuixiilnxyxii12ui归OLS法一元线性回yxii12sinuixiisinxyxii12ui归OLS法对于式（6.4.5）、式（6.

4、4.6）和式（6.4.7）所示的非线性回归模型，因变量与待估计参数之间的关系也是非线性的。因此不能通过直接换元化为线性模型。对此类模型，可通过对回归方程两边取对数转换为可以直接换元的形式。这种先取对数再进行变量代换的方法称为间接换元法。为使取对数后回归方程的形式更为简捷，我们不妨将式（6.4.5）和式（6.4.7）中随机扰动项的形式进行变换，将式（6.4.5）和式（6.4.7）改写为：yabexiiu（6.4.5‘）iyaxebui（6.4.7‘）ii‘’对（6.1.5）、式（6.1.6）和式（6.1.7）两边取对数，得lnylnalnbxu（6.4.8）iii

5、lnyxxu（6.4.9）i011i22iilnylnablnxu（6.4.10）iii式（6.4.8）、式（6.4.9）和式（6.4.10）皆可经过适当的换元直接转化为线性回归方程，通过线性回归的方法来进行参数估计。下面，我们来研究不能通过上述两种方法来处理的非线性回归模型。设非线性回归模型具有如下形式：YfXX=(,,,,,,,)X（6.4.11）12pk122其中，N(0,)。设(,,,,)xxxy(in1,2,,)是(,,,,)XXXY的n次独立观测值，则多元非线性模ii12ipi12p型(6.4.11)可表示为y=

6、(,,,,,,,)fxxx,1,2,,in（6.4.12）ii12iip12ki2()i其中N(0,)，且独立同分布。为方便起见，将式（6.4.12）简写为yfX=(,)，其中iii()iTTX(,,,)xxx，(,,,)。为求参数的估计值，转化为求解最小二乘问题ii12ip12kn()i2min()Qy(if(X,))（6.4.13）i1式（6.4.13）的解ˆ作为参数的估计值。可以证明，的最小二乘估计也是其最大似然估计。在R软件中，一般通过函数nls()求解非线性最小二乘问题，下面通过例子来说明求解过程

7、。例6.4.1在化学工业的可靠性研究中，对象是某种产品A。在对产品进行制造的过程中，单位产品中必须含有0.50的有效氯气，产品中的氯气随着时间的增加而减少，在产品到达用户之前的最初8周内，氯气含量衰减到0.49。但由于随后出现了许多无法控制的因素，因而在后8周理论的计算对有效氯气的进一步预报是不可靠的。为有利于管理，需要决定产品中所含的有效氯气随时间的变化规律。在一段时间中观测若干盒产品得到的数据如表6.4.1。假定非线性模型：yx(0.49)exp((8))利用非线性最小二乘法进行参数估计。表6.4.1单