般周期函数的傅里叶级数.ppt

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1、第八节一般周期函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、正弦级数与余弦级数回顾：函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有①②定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中为f(x)的傅里叶系数.x为连续点一、以2l为周期的傅氏级数定理设周期为2l的周期函数f(x)满足Dirichlet充分条件，则f

2、(x)的傅里叶级数在每点处收敛.且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x).当x是f(x)的间断点时,级数收敛于其中证明则有则有解二、正弦级数与余弦级数1、周期奇函数和偶函数的傅里叶级数定理一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.定义解所给函数满足狄利克雷充分条件.解所给函数满足狄利克雷充分条件.2、非周期函数展开成正弦或余弦级数非周期函数的周期性延拓则有如下两种情况1)奇延拓:2)偶延拓:定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x

3、)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成解(1)求正弦级数.将f(x)作奇周期延拓,则有(2)求余弦级数.将f(x)作偶周期延拓,则有例4.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,(2)将f(x)作偶周期延拓,当函数定义在任意有限区间上时,方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其展开方法为:方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将代入展开式在即上的正弦或余弦级数例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周

4、期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定,处收敛于练习1.则它的傅里叶级数在在处收敛于.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为练习.写出函数傅氏级数的和函数.答案:三、小结1.验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);2.求出傅氏系数;3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于以2l为周期的傅里叶系数；奇函数和偶函数的傅里叶系数；正弦级数与余弦级数；非周期函数的周期性延拓.求傅里叶级数展开式的步骤：将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,从而便于计算系数和写出收敛域.思考需澄清的几个问

5、题.(误认为以下三情况正确)1)只有周期函数才能展成傅氏级数;练习题练习题答案