周期函数傅里叶级数.ppt

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1、上一节详细研究了一种重要的函数项级数:幂级数.下面研究另一种重要的函数项级数:这种级数是由于研究周期现象的需要而产生的.它在电工、力学和许多学科中都有很重要的应用.傅里叶级数.傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数:1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用了三角级数.1777年,欧拉在研究天文学的时候,用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时的系数,也就是现今教科书中傅里叶级数系数.历史朔源在历史上,三角级数的出

2、现和发展与求解微分方程是分不开的.1753年,丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为三角级数的形式,这为函数的傅里叶展开这个纯数学问题奠定了物理基础,促进了分析学的发展.1822年,傅里叶在《热的解析理论》一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论.傅里叶(Fourier)级数在自然界和人类的生产实践中,周期运动很常见.如行星的飞转,飞轮的旋转,蒸气机活塞的往复运动,数学上,用周期函数来描述它们.最简单最基本的周期函数是谐函数周期振幅时间角频率初相简谐波简谐振动

3、正弦型函数傅里叶(Fourier)级数物体的振动,声、光、电的波动等.问题的提出如矩形波除了正弦函数外,常遇到的是非正弦周期函数,傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数11傅里叶(Fourier)级数把一个周期运动(如矩形波)分解为简谐振动的迭加,反映在数学上,是把一个周期函数f(t)表示为各类正弦函数的迭加,即谐波分析即傅里叶(Fourier)级数三角级数？函数f(t)满足什么条件,系数

4、才能展为如何确定?三角级数?傅里叶(Fourier)级数基本三角函数系的正交性的正交性是指:其中任何两个不同的函数的乘积在一个周期长的区间而任一个函数的自乘(平方)在傅里叶(Fourier)级数(orthogonality)基本三角函数系傅里叶(Fourier)级数傅里叶系数(Fouriercoefficient)三角函数系的正交性两边积分傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数三角函数系的正交性18傅里叶(Fourier)级数三角函数系的正交性解由傅里叶系数公式偶奇练习傅里叶(Fourier)级数函

5、数f(x)的傅里叶级数傅里叶(Fourier)级数注称为函数f(x)的傅里叶系数.函数f(x)的傅里叶级数常记为f(x)注f(x)的傅里叶级数不见得收敛；即使收敛，级数的和也不一定是f(x).不能无条件的傅里叶级数收敛定理解决了这些问题.所以,把符号“”它的傅里叶级数收敛，当f(x)满足什么条件时，并收敛于f(x)本身.换为“=”.傅里叶(Fourier)级数狄利克雷(Dirichlet)收敛定理傅里叶(Fourier)级数(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成(2)周期函数的三角级数展开是唯一的,就是(3)要

6、注明傅氏级数的和函数与函数f(x)相等注幂级数的条件低得多;其傅里叶级数;傅里叶(Fourier)级数的x的取值范围.解因为傅里叶(Fourier)级数练习周期函数的傅里叶级数解题程序并验证是否满足狄氏条件(画图目的:验证狄氏条件;由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2)求出傅氏系数;(3)写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f(x).傅里叶(Fourier)级数(1)画出f(x)的图形,解u(t)的图象计算傅里叶系数奇的傅里叶级数.例傅里叶(Fourier)级数偶傅里叶(Fourier)级数故u(

7、t)的傅里叶级数为由于u(t)满足狄利克雷条件,所以傅里叶(Fourier)级数u(t)的图象和函数图象解计算傅里叶系数例傅里叶(Fourier)级数将f(x)展开为傅里叶级数.f(x)的图象傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数故f(x)的傅里叶级数由于f(x)满足狄利克雷充分条件,由收敛定理得傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数(2)F(x)展开为傅里叶级数;注作法傅里叶(Fourier)级数对于非周期函数,如果f(x)只在区间上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级

8、数.解例将函数展开为傅氏级数.延拓后的周期函数连续,其傅氏级数展开式在下面计算傅里叶系数.傅里叶(Fourier)级数收敛于f(x).偶函数奇函数傅里叶(Fourier)级数所求函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式求级数的和傅里叶(Fourier)级数傅里叶(Fourier)级数为周期的傅氏级数的和函数s(x)在上的解s(x)=练习傅里叶(Four