解的存在唯一性定理和.ppt

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1、第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE2021/7/251常微分方程-重庆科技学院-李可人第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理/Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE/解的存在唯一性定理与逐步逼近法解的一般性质奇解*近似计算和误差估计2021/7/252常微分方程-重庆科技学院-李可人研究对象主要问题存在性，存在区间？唯一性？延拓性，最大存在区间？初值微小变动时，解

2、的变化情况？本章要求掌握逐步逼近方法的基本思想会用解的存在唯一性和延拓定理解决具体问题Ch.3Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE2021/7/253常微分方程-重庆科技学院-李可人深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论理解解的一般性质掌握求奇解的两个方法利用逐步逼近序列进行似计算和误差估计掌握逐步逼近方法的本思想解的延拓解对初值的连续依赖性和可微性本章要求/Requirements/Ch.3Existence&UniquenessTheore

3、mofFirst-OrderODE2021/7/254常微分方程-重庆科技学院-李可人§3.1解的存在唯一性定理和逐步逼近法/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/概念和定义存在唯一性定理内容提要/ConstantAbstract/§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/256常微分方程-重庆科技学院-李可人本节要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的本思想深刻理解解

4、的存在唯一性定理的条件与结论§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/257常微分方程-重庆科技学院-李可人一、概念与定义/ConceptandDefinition/1.一阶方程的初值问题(Cauchyproblem)表示§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/258常微分方程-重庆科技学院-李可人2.利普希兹条件函数称为在矩形域:…………(3.1.5)关于y满足利普

5、希兹(Lipschitz)条件，如果存在常数L>0使得不等式对所有都成立。L称为利普希兹常数。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/259常微分方程-重庆科技学院-李可人二、存在唯一性定理定理1如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解定义在区间,且满足初始条件这里§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/2510常微分

6、方程-重庆科技学院-李可人定理1的证明需要证明五个命题：命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程命题2构造一个连续的逐步逼近序列命题3证明此逐步逼近序列一致收敛命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解命题5证明唯一性§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/2511常微分方程-重庆科技学院-李可人定理1的证明命题1设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.1.6)的定义于上的连续解。证明:微分方程的初值问题的

7、解满足积分方程（3.1.6）。积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/2512常微分方程-重庆科技学院-李可人证明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在上的连续解.§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/2513常微分方程-重庆科技学院-李可人反之

8、，如果是(3.1.6)的连续解，则有：………(3.1.8)微分之，得到:又把代入(3.1.8)，得到:因此，是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题1证毕.同理，可证在也成立。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2021/7/2514常微分方程-重庆科技学院-李可人现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:§3.1Existen